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反三角函数

你已经学习了如何三角函数 $罪（x）$， $\mathrm{因为}（x）$, $\mathrm{棕褐色}（x）$如果已知一个直角三角形的边长和一个角的度数，可以用来求一个未知的边长。

的反三角函数 ${罪}^{-1}（x）$，${\mathrm{因为}}^{-1}（x）$,${\mathrm{棕褐色}}^{-1}（x）$，用于在已知直角三角形两条边长度的情况下求一个角的未知度数。

这里有一个直角三角形，我们知道两条边的长度，也就是这个角的对边和邻边。我们用的是正切反函数。如果你把这个输入一个设置为“度”模式的计算器，你会得到

${\mathrm{棕褐色}}^{-1}（\frac{10}{3.}）\approx 73.3°$

如果你把计算器设为弧度模式，你会得到

${\mathrm{棕褐色}}^{-1}（\frac{10}{3.}）\approx 1.28$

如果你记得边长比出现在 $45-45-90$和 $30.-60-90$三角形，你可能不用计算器就能求出一些反三角函数的值。

你可能还记得$30.-60-90$三角形，如果斜边有长度$1$，那么长腿就有了长度$\frac{\sqrt{3.}}{2}$．因为余弦是邻边与斜边之比，所以余弦逆的值是$30.°$，或约$0.52$弧度。

${\mathrm{因为}}^{-1}（\frac{\sqrt{3.}}{2}）=30.°$

反三角函数图

三角函数都是周期函数．因此它们的图都没有通过水平线试而不试 $1-\text{来}-1$．这意味着它们都没有逆矩阵，除非域每一个都被限制去做每一个$1-\text{来}-1$．

由于图是周期性的，如果我们选择一个合适的定义域，我们可以使用范围．

如果我们限制定义域$f（x）=罪（x）$来$(-\frac{\pi }{2}，\frac{\pi }{2}］$我们得到了这个函数$1-\text{来}-1$．范围是$(-1，1］$．

(虽然有很多方法可以限制域来获得a$1-\text{来}-1$函数(这是商定的使用间隔)。

我们表示逆函数作为$y={罪}^{-1}（x）$．它是读的$y$sin的逆函数是多少$x$和手段$y$实数角的正弦值是多少$x$．注意使用的符号。上标"${}^{-1}$不是一个指数。为了避免使用这种符号，有些书使用这种符号$y=\arcsin （x）$代替。

要画出正弦函数的反函数，记住这个图是对直线的反射$y=x$sin函数的函数。

注意定义域现在是值域，值域现在是定义域。因为定义域是有限的所有正值都是a$1^{\text{圣}}$象限角和所有的负值都是a$4^{\text{th}}$象限角。

同样的，我们可以限制余弦函数和正切函数的定义域$1-\text{来}-1$．

反弦函数的定义域是$(-1，1］$范围是$(0，\pi ］$．这意味着正值会产生a$1^{\text{圣}}$象限角和负值会得到a$2^{\text{nd}}$象限角。

正切反函数的定义域是$（-\infty ，\infty ）$范围是$（-\frac{\pi }{2}，\frac{\pi }{2}）$．正切函数的反函数会得到$1^{\text{圣}}$和$4^{\text{th}}$象限。

用同样的方法求出其他三角函数的反函数——cotan, sec和cosec。

函数	域	范围
${罪}^{-1}（x）$	$(-1，1］$	$(-\frac{\pi }{2}，\frac{\pi }{2}］$
${\mathrm{因为}}^{-1}（x）$	$(-1，1］$	$(0，\pi ］$
${\mathrm{棕褐色}}^{-1}（x）$	$（-\infty ，\infty ）$	$（-\frac{\pi }{2}，\frac{\pi }{2}）$
${床}^{-1}（x）$	$（-\infty ，\infty ）$	$（0，\pi ）$
${\mathrm{证券交易委员会}}^{-1}（x）$	$（-\infty ，-1］\cup (1，\infty ）$	$(0，\frac{\pi }{2}）\cup （\frac{\pi }{2}，\pi ］$
${\csc }^{-1}（x）$	$（-\infty ，-1］\cup (1，\infty ）$	$(-\frac{\pi }{2}，0）\cup （0，\frac{\pi }{2}］$