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矩阵的逆

一个方阵的乘法逆称为它的逆矩阵。如果一个矩阵 一个 有一个逆矩阵 一个 据说是非奇异的或者是可逆的。一个单数矩阵没有逆矩阵。求一个方阵的逆矩阵 一个 ，你需要找到一个矩阵 一个 − 1 的乘积 一个 和 一个 − 1 是单位矩阵。

换句话说，对于每个方阵 一个 它是非奇异的存在一个逆矩阵，它的性质是， 一个 一个 − 1 ＝ 一个 − 1 一个 ＝ 我 ,在那里 我 是适当大小的单位矩阵。

你可以用下面两种方法中的任何一种来求方阵的逆。

方法1:

让 一个 是一个 n × n 矩阵。

1.写出这个双增广矩阵 ［ 一个 | 我 n ］ ．

2.应用初等行运算将矩阵写成行简化阶梯形。

3.决定矩阵是否 一个 可逆(非奇异)。

4.如果 一个 可以化简成单位矩阵吗 我 n ,然后 一个 − 1 是变换后的增广矩阵右边的矩阵。

5.如果 一个 所以不能简化成单位矩阵 一个 是单数。

方法2:

当求的逆时，你可以使用下面的公式 n × n 矩阵。

如果 一个 是否存在一个非奇异矩阵的逆，它由 一个 − 1 ＝ 1 | 一个 | （ 邻接的 一个 ） ,在那里 | 一个 | 是矩阵的行列式。

例子:

找到 一个 − 1 ，如果存在的话。如果 一个 − 1 不存在，写单数。

一个 ＝ ［ 1 2 1 1 ］

步骤1:

写出这个双增广矩阵 ［ 一个 | 我 n ］ ．

［ 一个 | 我 ］ ＝ ［ 1 2 1 0 1 1 0 1 ］

步骤2:

应用初等行运算将矩阵写成行简化阶梯形。

［ 1 2 1 0 0 1 1 − 1 ］ R 2 ＝ R 1 − R 2 ［ 1 0 − 1 2 0 1 1 − 1 ］ R 1 ＝ − 2 R 2 + R 1 ［ 1 0 − 1 2 0 1 1 − 1 ］ ＝ ［ 我 | 一个 − 1 ］

这个系统有一个解决方案。

因此, 一个 是可逆的 一个 − 1 ＝ ［ − 1 2 1 − 1 ］