几何级数

示例1:

有限的等比数列:$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{1}{8}，\frac{1}{16}，\mathrm{．..}，\frac{1}{32768}$

相关有限几何级数:$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\mathrm{．..}+\frac{1}{32768}$

用sigma符号表示:${\displaystyle \underset{k＝1}{\overset{15}{\sum }}}\frac{1}{2^k}$

示例2:

无穷等比数列:$2，6，18，54，\mathrm{．..}$

相关无穷几何级数:$2+6+18+54+\mathrm{．..}$

用sigma符号表示:${\displaystyle \underset{n＝1}{\overset{\infty }{\sum }}（2\cdot {3.}^{n-1}）}$

示例3:

求第一个的和$8$几何级数的项${\mathrm{一个}}_1＝1$和$r＝2$．

${\mathrm{年代}}_8＝\frac{1（1-2^8）}{1-2}＝255$

示例4:

找到${\mathrm{年代}}_{10}$，无穷几何级数的第十部分和$24+12+6+\mathrm{．..}$．

首先,找到$r$．

$r＝\frac{{\mathrm{一个}}_2}{{\mathrm{一个}}_1}＝\frac{12}{24}＝\frac{1}{2}$

现在，求和:

${\mathrm{年代}}_{10}＝\frac{24（1-{（\frac{1}{2}）}^{10}）}{1-\frac{1}{2}}＝\frac{3069}{64}$

例5:

评估。

${\displaystyle \underset{n＝1}{\overset{10}{\sum }}3.\cdot {（-2）}^{n-1}}$

(你正在寻找${\mathrm{年代}}_{10}$的系列$3.-6+12-24+\mathrm{．..}$，其公比为$-2$．)

$\begin{array}{l}{\mathrm{年代}}_n＝\frac{{\mathrm{一个}}_1（1-r^n）}{1-r}\\ {\mathrm{年代}}_{10}＝\frac{3.［1-{（-2）}^{10}］}{1-（-2）}＝\frac{3.（1-1024）}{3.}＝-1023\end{array}$

例6:

求无穷几何级数的和
$27+18+12+8+\mathrm{．..}$．

首先找到$r$：

$r＝\frac{{\mathrm{一个}}_2}{{\mathrm{一个}}_1}＝\frac{18}{27}＝\frac{2}{3.}$

然后求其和:

$\begin{array}{l}\mathrm{年代}＝\frac{{\mathrm{一个}}_1}{1-r}\\ \mathrm{年代}＝\frac{27}{1-\frac{2}{3.}}＝81\end{array}$

例7:

求无穷几何级数的和
$8+12+18+27+\mathrm{．..}$如果它的存在。

首先找到$r$：

$r＝\frac{{\mathrm{一个}}_2}{{\mathrm{一个}}_1}＝\frac{12}{8}＝\frac{3.}{2}$

自$r＝\frac{3.}{2}$不小于1，则级数不收敛。也就是说，它没有和。