用正弦函数求三角形的面积

你对这个公式很熟悉 $R ＝ \frac{1}{2} b h$ 为了找到三角形的面积在哪里 $b$ 三角形底的长度是和吗 $h$ 是高，或者说从对顶点到底的垂线的长度。

假设 $Δ 一个 B C$ 有边长 $一个$ ， $b$ , $c$ 。让 $h$ 是垂线的长度与边的长度 $b$ 从顶点开始 $B$ 它与边相接 $\bar{一个 C}$ 在 $D$ 。

然后是面积 $R$ 三角形的 $一个 B C$ 是 $R ＝ \frac{1}{2} b h$ 。

现在，看看 $Δ 一个 D B$ 。它是一个直角三角形斜边 $\bar{一个 B}$ 它的长度是 $c$ 单位。

考虑sin () $∠ 一个$ 。

$\begin{array}{l} 罪（一个）＝ \frac{对面}{斜边} \\ ＝ \frac{h}{c} \\ 罪（一个）＝ \frac{h}{c} \Rightarrow h ＝ c 罪（一个） \end{array}$

代入 $h$ 在三角形面积的公式中，你得到

$\begin{array}{l} R ＝ \frac{1}{2} b （ c 罪（一个）） \\ ＝ \frac{1}{2} b c 罪（一个） \end{array}$

类似地，你可以用 $罪（ B ）$ 或 $罪（ C ）$ 。

$\begin{array}{l} R ＝ \frac{1}{2} 一个 b 罪（ C ） \\ R ＝ \frac{1}{2} 一个 c 罪（ B ） \end{array}$

示例1:

求的面积 $Δ P 问 R$ 。

你有两条边的长度和夹角的大小。你可以用这个公式 $R ＝ \frac{1}{2} p r 罪（问）$ 在哪里 $p$ 和 $r$ 这些边的长度是顶点的对边吗 $P$ 和 $R$ 分别。

用面积公式， $R ＝ \frac{1}{2} （ 3. ）（ 4 ）罪（ 145 ° ）$ 。

简化。

$\begin{array}{l} R ＝ 6 罪（ 145 ° ） \\ \approx 6 （ 0.5736 ） \\ \approx 3.44 \end{array}$

因此，的面积 $Δ P 问 R$ 是关于 $3.44$ 平方厘米

示例2:

右边的面积 $Δ X Y Z$ 在顶点处有直角 $Y$ 是 $39$ 平方。单位。如果 $Y Z ＝ 12$ 和 $X Z ＝ 13$ ，解这个三角形。

首先，用给定的尺寸画一个图。

使用勾股定理求三角形第三条边的长度。

$\begin{array}{l} X Y ＝ \sqrt{{（ X Z ）}^{2} - {（ Y Z ）}^{2}} \\ ＝ \sqrt{13^{2} - 12^{2}} \\ ＝ \sqrt{169 - 144} \\ ＝ \sqrt{25} \\ ＝ 5 \end{array}$

现在，你有了三条边的长度和三角形的面积。

代入面积公式。

$\begin{array}{l} 区域＝ \frac{1}{2} \times （ Y Z ） \times （ X Z ） \times 罪（ Z ） \\ 39 ＝ \frac{1}{2} （ 12 ）（ 13 ）罪（ Z ） \end{array}$

解出 $Z$ 。

$\begin{array}{l} 罪（ Z ）＝ \frac{（ 39 ）（ 2 ）}{（ 12 ）（ 13 ）} \\ ＝ 0.5 \end{array}$

求逆矩阵，

$\begin{array}{l} Z ＝罪^{- 1} （ 0.5 ） \\ ＝ 30. ° \end{array}$

也就是说, $米 ∠ Z ＝ 30. °$ 。

已知顶点处的角度 $Y$ 是一个直角。因此, $米 ∠ Y ＝ 90 °$ 。

使用三角形角和定理，第三个角的度数是，

$\begin{array}{l} 米 ∠ X ＝ 180 - （米 ∠ Y + 米 ∠ Z ） \\ ＝ 180 - （ 90 + 30. ） \\ ＝ 60 \end{array}$

因此，测量 $∠ X$ 是 $60 °$ 。