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椭圆

椭圆是所有点的集合$P$在一个平面上，距离的和$P$是一个给定的常数。每个不动点称为a焦点。(复数形式是foci。)

的片段$\overline{P{F}_1}$和$\overline{P{F}_2}$是焦半径的$P$。

的中心椭圆的中心点是连接其焦点的线段的中点。的主轴椭圆的弦穿过它的焦点，它的端点在椭圆上。的短轴椭圆的弦包含椭圆的中心，它的端点在椭圆上，并且垂直于长轴。

椭圆有a二次方程在两个变量中。

给定一个椭圆，其中心为$（0，0）$，它的重点是$x$设在在$（c，0）$和$（-c，0）$，$x$拦截$（\pm \mathrm{一个}，0）$和 $x$拦截 $（0，\pm b）$。长轴的长度为$2\mathrm{一个}$椭圆的方程是

$\frac{x^2}{{\mathrm{一个}}^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{在哪里}{b}^2={\mathrm{一个}}^2-c^2$

长轴在$x$设在。

如果椭圆上的焦点在$y$-轴，则焦点为$（0，\pm c）$，公式是

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{{\mathrm{一个}}^2}=1\text{在哪里}{b}^2={\mathrm{一个}}^2-c^2$

长轴在$y$设在。的$x$拦截是$（\pm b，0）$和$y$拦截是$（0，\pm \mathrm{一个}）$。

注意长轴是水平的$x^2$-项的分母更大，如果是$y^2$-term的分母更大。因为两个分母中较大的那个是${\mathrm{一个}}^2$，长轴的长度总是$2\mathrm{一个}$小轴的长度总是$2b$。中心到任一焦点的距离为|$c$|。

因为这些椭圆的中心都在原点上，所以它们被称为中央椭圆。

它的$x$拦截是$（3.，0）$和$（-3.，0）$。

它的$y$拦截是$（0，2）$和$（0，-2）$。

$b^2={\mathrm{一个}}^2-c^2$所以$c^2={\mathrm{一个}}^2-b^2$

$c^2=9-4=5$

$c=\pm \sqrt{5}$。由于长轴是水平轴，所以焦点位于$（\sqrt{5}，0）\text{和}（-\sqrt{5}，0）$。

椭圆的图形可以平移，使其中心在该点上$（h，k）$。这意味着图形已被翻译$h$横轴上的单位和$k$纵轴上的单位。

水平长轴垂直长轴

$\frac{{（x-h）}^2}{{\mathrm{一个}}^2}+\frac{{（y-k）}^2}{b^2}=1$ $\frac{{（x-h）}^2}{b^2}+\frac{{（y-k）}^2}{{\mathrm{一个}}^2}=1$

焦点在$（h-c，k）$和$（h+c，k）$焦点在$（h，k-c）$和$（h，k+c）$

焦距的和为$14$,所以$2\mathrm{一个}=14$和$\mathrm{一个}=7$。

中心在焦点的中间$（3.，4）$。

中心到每个焦点的距离为$6$,所以$c=6$。

$b^2={\mathrm{一个}}^2-c^2$所以$b^2=7^2-6^2=49-36=13$。

因此，椭圆的方程为$\frac{{（x-3.）}^2}{49}+\frac{{（y-4）}^2}{13}=1$

椭圆也可以定义为一个圆锥与一个不垂直于曲面的平面相交而得到的圆锥截面对称轴并且不与圆锥体的底部相交。