笛卡尔的迹象

笛卡尔的迹象有助于确定可能的数量真正的根多项式 $P. （ X ）$ 没有实际绘制或解决它。请注意，此规则不会给出确切的根数多项式或识别根源多项式。

规则指出多项式的正根的可能数量等于术语系数或少于符号的符号变化的数量或者 $2$ 。

例如，如果有 $3.$ 签署多项式术语系数的变化，那么多项式的可能正数量是 $3.$ 要么 $1$ 。

[在应用笛卡尔签署规则之前，请务必按降序安排多项式的条款指数。]

例1：

找到多项式的正根的数量。

$X^{3.} + 3. X^{2} - X - X^{4.} - 2$

以指数的降序排列多项式的条款：

$- X^{4.} + X^{3.} + 3. X^{2} - X - 2$

计算标志数更改：

$\overset{1}{\overset{⎴}{- X^{4.} +}} X^{3.} \overset{2}{\overset{⎴}{+ 3. X^{2} -}} X - 2$

有 $2$ 签署多项式的变化，因此多项式的可能正数是多项式的 $2$ 要么 $0.$ 。

首先通过代替来重写给定的多项式 $- X$ 为了 $X$ 。这与否定奇波术语的系数相同。

转义规则指出原始多项式的负根的可能数量等于符号变化的数量（在否定奇数权力术语之后的术语的系数中）或小于符号的倍数 $2$ 。

例2：

找到多项式的可能数量的多项式并验证。

$X^{3.} - X^{2} - 14. X + 24.$

多项式的术语已经处于指数的降序。

计算标志数更改：

$\overset{1}{\overset{⎴}{+ X^{3.} -}} X^{2} \overset{2}{\overset{⎴}{- 14. X +}} 24.$

有 $2$ 签署多项式的变化和多项式的可能正数量是 $2$ 要么 $0.$ 。

让给定的多项式是 $F （ X ）$ 和替代品 $- X$ 为了 $X$ 在多项式和简化：

$\begin{array}{l} F （ - X ） = {（ - X ）}^{3.} - {（ - X ）}^{2} - 14. （ - X ） + 24. \\ = - X^{3.} - X^{2} + 14. X + 24. \end{array}$

计算标志数更改：

$- X^{3.} \overset{1}{\overset{⎴}{- X^{2} +}} 14. X + 24.$

有 $1$ 签署第二多项式的变化。因此，从笛卡尔的标志的推论中，原始多项式的可能负数是 $1$ 。

多项式可以重写为： $（ X - 2 ）（ X - 3. ）（ X + 4. ）$

我们可以验证有没有 $2$ 积极的根源 $1$ 给定多项式的负根。

请注意，多项式的重复根部分别计算。

例如，多项式

${（ X - 2 ）}^{2}$ ，可以写成 $X^{2} - 2 X + 4.$ ，拥有 $2$ 签署变更。因此，多项式有 $2$ 积极的根源。