笛卡儿符号法则

笛卡儿的符号规则有助于确定可能的数真正的根源多项式的 $p （ x ）$ 不用画出来，也不用解出来。请注意，这个规则并没有给出根的确切数目多项式或找出根源多项式的。

该规则指出，多项式的可能正根数等于项的系数中符号变化的次数或小于符号变化的倍数 $2$ ．

例如，如果有 $3.$ 多项式项系数的符号变化，则多项式的可能正根数为 $3.$ 或 $1$ ．

在应用笛卡儿符号规则之前，请确保将多项式的项按降序排列指数)

示例1:

求多项式正根的个数。

$x^{3.} + 3. x^{2} - x - x^{4} - 2$

将多项式项按指数降序排列:

$- x^{4} + x^{3.} + 3. x^{2} - x - 2$

计算符号变化的次数:

$\overset{1}{\overset{⎴}{- x^{4} +}} x^{3.} \overset{2}{\overset{⎴}{+ 3. x^{2} -}} x - 2$

有 $2$ 多项式的符号改变了，所以多项式可能的正根个数是 $2$ 或 $0$ ．

首先通过替换来重写给定的多项式 $- x$ 为 $x$ ．这和取奇次项的负系数是一样的。

推论规则指出，原始多项式的负根的可能个数等于符号变化的次数(在奇次幂项取负后的项的系数中)或小于符号变化的倍数 $2$ ．

示例2:

找出多项式的实根的可能个数并验证。

$x^{3.} - x^{2} - 14 x + 24$

多项式的项已经按照指数降序排列了。

计算符号变化的次数:

$\overset{1}{\overset{⎴}{+ x^{3.} -}} x^{2} \overset{2}{\overset{⎴}{- 14 x +}} 24$

有 $2$ 多项式的符号变化多项式的正根的可能个数是 $2$ 或 $0$ ．

设给定的多项式是 $f （ x ）$ 和替代 $- x$ 为 $x$ 在多项式中进行化简:

$\begin{array}{l} f （ - x ） = {（ - x ）}^{3.} - {（ - x ）}^{2} - 14 （ - x ） + 24 \\ = - x^{3.} - x^{2} + 14 x + 24 \end{array}$

计算符号变化的次数:

$- x^{3.} \overset{1}{\overset{⎴}{- x^{2} +}} 14 x + 24$

有 $1$ 第二个多项式的符号变化。因此，根据笛卡儿符号法则的推论，原始多项式的负根的可能个数是 $1$ ．

多项式可以改写为: $（ x - 2 ）（ x - 3. ）（ x + 4 ）$

我们可以证实有 $2$ 正根和 $1$ 给定多项式的负根。

请注意，多项式的重复根是分开计算的。

例如，多项式

${（ x - 2 ）}^{2}$ ，可以写成 $x^{2} - 2 x + 4$ ,已经 $2$ 信号的变化。因此，多项式有 $2$ 积极的根源。