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克莱默的规则

克莱默的规则使用决定因素解决线性方程系统。考虑两个变量中的两个线性方程的系统：
$\begin{array}{l}\mathrm{一种}X+\mathrm{B.}y=C\\ \mathrm{D.}X+\mathrm{E.}y=F\end{array}$

使用线性组合方法，您可以验证

$X=\frac{C\mathrm{E.}-\mathrm{B.}F}{\mathrm{一种}\mathrm{E.}-\mathrm{B.}\mathrm{D.}}$和$y=\frac{\mathrm{一种}F-C\mathrm{D.}}{\mathrm{一种}\mathrm{E.}-\mathrm{B.}\mathrm{D.}}$如果$\mathrm{一种}\mathrm{E.}-\mathrm{B.}\mathrm{D.}\ne 0.$

注意，分母等于行列式系数。

$\mathrm{D.}=\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一种}& \mathrm{B.}\\ \mathrm{D.}& \mathrm{E.}\end{array}\right|$

分子等于决定簇${\mathrm{D.}}_X$和${\mathrm{D.}}_y$在哪里

${\mathrm{D.}}_X=\left|\begin{array}{cc}C& \mathrm{B.}\\ F& \mathrm{E.}\end{array}\right|$和${\mathrm{D.}}_y=\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一种}& C\\ \mathrm{D.}& F\end{array}\right|$

${\mathrm{D.}}_X$通过替换系数的柱形成$X$在$\mathrm{D.}$与常量列和${\mathrm{D.}}_y$通过替换系数的柱形成$y$在$\mathrm{D.}$用常量列。

替代，

$X=\frac{\left|\begin{array}{cc}C& \mathrm{B.}\\ F& \mathrm{E.}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一种}& \mathrm{B.}\\ \mathrm{D.}& \mathrm{E.}\end{array}\right|}=\frac{{\mathrm{D.}}_X}{\mathrm{D.}}$和$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一种}& C\\ \mathrm{D.}& F\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一种}& \mathrm{B.}\\ \mathrm{D.}& \mathrm{E.}\end{array}\right|}=\frac{{\mathrm{D.}}_y}{\mathrm{D.}}$。

决定因素还可用于解决三个变量中的线性方程系统：

$\begin{array}{l}{\mathrm{一种}}_{1}X+{\mathrm{B.}}_{1}y+C_1\mathrm{Z.}={\mathrm{D.}}_1\\ {\mathrm{一种}}_{2}X+{\mathrm{B.}}_{2}y+C_2\mathrm{Z.}={\mathrm{D.}}_2\\ {\mathrm{一种}}_{3.}X+{\mathrm{B.}}_{3.}y+C_{3.}\mathrm{Z.}={\mathrm{D.}}_{3.}\end{array}$

然后，

$\begin{array}{cc}\mathrm{D.}=\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{一种}}_1& {\mathrm{B.}}_1& C_1\\ {\mathrm{一种}}_2& {\mathrm{B.}}_2& C_2\\ {\mathrm{一种}}_{3.}& {\mathrm{B.}}_{3.}& C_{3.}\end{array}\right|\ne 0.& {\mathrm{D.}}_X=\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{D.}}_1& {\mathrm{B.}}_1& C_1\\ {\mathrm{D.}}_2& {\mathrm{B.}}_2& C_2\\ {\mathrm{D.}}_{3.}& {\mathrm{B.}}_{3.}& C_{3.}\end{array}\right|\\ {\mathrm{D.}}_y=\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{一种}}_1& {\mathrm{D.}}_1& C_1\\ {\mathrm{一种}}_2& {\mathrm{D.}}_2& C_2\\ {\mathrm{一种}}_{3.}& {\mathrm{D.}}_{3.}& C_{3.}\end{array}\right|& {\mathrm{D.}}_{\mathrm{Z.}}=\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{一种}}_1& {\mathrm{B.}}_1& {\mathrm{D.}}_1\\ {\mathrm{一种}}_2& {\mathrm{B.}}_2& {\mathrm{D.}}_2\\ {\mathrm{一种}}_{3.}& {\mathrm{B.}}_{3.}& {\mathrm{D.}}_{3.}\end{array}\right|\end{array}$

和，

$X=\frac{{\mathrm{D.}}_X}{\mathrm{D.}}那y=\frac{{\mathrm{D.}}_y}{\mathrm{D.}}那\mathrm{Z.}=\frac{{\mathrm{D.}}_{\mathrm{Z.}}}{\mathrm{D.}}$。

该方法可以广泛地用于系统$N$线性方程式$N$变量。

它被命名为瑞士数学家加布里埃尔克莱默。