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克莱姆法则

克莱姆法则使用行列式解线性方程组。考虑两个变量线性方程组:
$\begin{array}{l}\mathrm{一个}x+by＝c\\ dx+ey＝f\end{array}$

用线性组合的方法，你可以验证

$x＝\frac{ce-bf}{\mathrm{一个}e-bd}$和$y＝\frac{\mathrm{一个}f-cd}{\mathrm{一个}e-bd}$如果$\mathrm{一个}e-bd\ne 0$

注意分母等于行列式系数。

$D＝\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一个}& b\\ d& e\end{array}\right|$

分子等于行列式$D_x$和$D_y$在哪里

$D_x＝\left|\begin{array}{cc}c& b\\ f& e\end{array}\right|$和$D_y＝\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一个}& c\\ d& f\end{array}\right|$

$D_x$是通过替换$x$在$D$用一列常数和$D_y$是通过替换$y$在$D$用常数列表示。

通过替换,

$x＝\frac{\left|\begin{array}{cc}c& b\\ f& e\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一个}& b\\ d& e\end{array}\right|}＝\frac{D_x}{D}$和$y＝\frac{\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一个}& c\\ d& f\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\mathrm{一个}& b\\ d& e\end{array}\right|}＝\frac{D_y}{D}$。

行列式也可用于求解三个变量的线性方程组:

$\begin{array}{l}{\mathrm{一个}}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z＝d_1\\ {\mathrm{一个}}_{2}x+b_{2}y+c_{2}z＝d_2\\ {\mathrm{一个}}_{3.}x+b_{3.}y+c_{3.}z＝d_{3.}\end{array}$

然后,

$\begin{array}{cc}D＝\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{一个}}_1& b_1& c_1\\ {\mathrm{一个}}_2& b_2& c_2\\ {\mathrm{一个}}_{3.}& b_{3.}& c_{3.}\end{array}\right|\ne 0& D_x＝\left|\begin{array}{ccc}{d}_1& b_1& c_1\\ d_2& b_2& c_2\\ d_{3.}& b_{3.}& c_{3.}\end{array}\right|\\ D_y＝\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{一个}}_1& d_1& c_1\\ {\mathrm{一个}}_2& d_2& c_2\\ {\mathrm{一个}}_{3.}& d_{3.}& c_{3.}\end{array}\right|& D_z＝\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{一个}}_1& b_1& d_1\\ {\mathrm{一个}}_2& b_2& d_2\\ {\mathrm{一个}}_{3.}& b_{3.}& d_{3.}\end{array}\right|\end{array}$

而且,

$x＝\frac{D_x}{D}，y＝\frac{D_y}{D}，z＝\frac{D_z}{D}$。

这种方法可以推广到$n$中的线性方程$n$变量。

它是以瑞士数学家加布里埃尔·克莱默的名字命名的。