勾股定理的反面

我们假设你很熟悉<一个href="//www.boatm8.com/hotmath/hotmath_help/topics/pythagorean-theorem.html">勾股定理．

毕达哥拉斯定理的悔改是：

如果三角形的最长边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形就是直角三角形。

也就是说,在 $Δ 一个 B C$ ,如果 $c^{2} ＝ {一个}^{2} + b^{2}$ 然后 $∠ C$ 是直角三角形， $Δ P 问 R$ 是直角。

我们可以用反证法来证明。

让我们假设 $c^{2} ＝ {一个}^{2} + b^{2}$ 在 $Δ 一个 B C$ 这个三角形是不一个直角三角形。

现在考虑另一个三角形 $Δ P 问 R$ ．我们构建 $Δ P 问 R$ 这 $P R ＝一个$ ， $问 R ＝ b$ 和 $∠ R$ 是直角。

由毕达哥拉斯定理， ${（ P 问）}^{2} ＝ {一个}^{2} + b^{2}$ ．

但是我们知道 ${一个}^{2} + b^{2} ＝ c^{2}$ 和 ${一个}^{2} + b^{2} ＝ c^{2}$ 和 $c ＝一个 B$ ．

所以, ${（ P 问）}^{2} ＝ {一个}^{2} + b^{2} ＝ {（一个 B ）}^{2}$ ．

也就是说, ${（ P 问）}^{2} ＝ {（一个 B ）}^{2}$ ．

自从 $P 问$ 和 $一个 B$ 是侧面的长度，我们可以采取正方形根。

$P 问＝一个 B$

也就是说，所有的三面 $Δ P 问 R$ 和的三个边相等 $Δ 一个 B C$ ．因此，这两个三角形根据边边边全等性质是全等的。

自从 $Δ 一个 B C$ 是相等的 $Δ P 问 R$ 和 $Δ P 问 R$ 是直角三角形， $Δ 一个 B C$ 肯定也是直角三角形。

这是一个矛盾。因此，我们的假设肯定是错误的。

例1：

检查是否具有侧面长度的三角形 $6$ 厘米, $10$ 厘米, $8$ 厘米是直角三角形。

检查最长边长度的平方是否等于其他两条边的平方和。

$\begin{array}{l} {（ 10 ）}^{2} \overset{？}{＝} {（ 8 ）}^{2} + {（ 6 ）}^{2} \\ 100. \overset{？}{＝} 64 + 36 \\ 100. ＝ 100. \end{array}$

应用Pythagorean定理的逆转。

由于长度的长度的平方是另外两侧的正方形的总和，通过佩达戈达尔定理的逆转，三角形是右三角形。

这个定理的一个推论是把三角形分为锐角、直角或钝角。

在有边长的三角形中 $一个$ ， $b$ ，和 $c$ 在哪里 $c$ 是最长一侧的长度，

如果 $c^{2} < {一个}^{2} + b^{2}$ 这个三角形是锐角

如果 $c^{2} > {一个}^{2} + b^{2}$ 那么这个三角形就是钝角。

例2：

检查三角形是否与边长一致 $5$ ， $7$ ，和 $9$ 单位是急性，右或钝的三角形。

三角形的最长边的长度是 $9$ 单位。

比较最长一侧的长度和其他两侧的平方和的平方。

最长一侧的长度是 $9^{2} ＝ 81$ 平方。单位。

另外两条边的平方和是

$\begin{array}{l} 5^{2} + 7^{2} ＝ 25 + 49 \\ ＝ 74 平方．单位 \end{array}$

也就是说, $9^{2} > 5^{2} + 7^{2}$ ．

因此，根据勾股定理的反面推论，这个三角形是一个钝角三角形。