圆锥曲线和标准形式的方程
一个圆锥部分一个平面和一个双右圆的交点是什么锥.通过改变交叉口的角度和位置,我们可以产生不同类型的锥形。有四种基本类型:圈,椭圆形,都和抛物线.没有一个交点会通过圆锥的顶点。
如果通过垂直于锥体的轴线的平面切割右圆锥,则交叉点是圆形。如果平面与锥形的一件和轴线相交,但不垂直于轴,则交叉点将是椭圆形。为了产生抛物线,交叉平面必须平行于锥的一侧,并且应该与一块双锥形相交。最后,为了产生双曲线,平面与锥体的两块相交。为此,交叉平面的斜率应大于锥体的斜率。
任意二次曲线的一般方程为
在哪里和是常数。
当我们改变某些常数的值时,相应圆锥的形状也会改变。重要的是要知道这些方程的不同之处,以帮助快速识别由给定方程表示的圆锥曲线的类型。
如果小于零,如果圆锥存在,它将是圆或椭圆。
如果如果存在圆锥形,则等于零,这将是抛物线。
如果如果存在圆锥形,则大于零,它将是一个双曲线。
圆锥截面方程的标准形式:
圆 |
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中心是. 半径是. |
具有水平长轴的椭圆 |
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中心是. 长轴长度为. 短轴长度为. 中心与任一焦点之间的距离是与
.
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长轴垂直的椭圆 |
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中心是. 长轴长度为. 短轴长度为. 中心与任一焦点之间的距离是与
.
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具有水平横轴的双曲线 |
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中心是. 顶点之间的距离是. 焦点之间的距离是.
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横轴垂直的双曲线 |
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中心是. 顶点之间的距离是. 焦点之间的距离是.
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抛物线横轴 |
,
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顶点是. 重点是. directrix是线路
轴是线
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垂直轴抛物线 |
,
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顶点是. 重点是. directrix是线路
. 轴是线
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方程组的求解
你一定很熟悉线性方程组的求解.几何上它给出两条或多条直线的交点。以类似的方法,二次方程组的解将给出两个或两个以上二次曲线的交点。
代数可以解决二次方程的系统消除要么代换就像线性系统一样。
例子:
解方程组。
的系数两个方程都是一样的。所以,用第一个方程减去第二个方程来消去变量.你会得到:
解:
利用的价值评估.
因此,解决方案是和.
现在,让我们从几何角度看它。
如果把第一个方程两边都除到了16岁.也就是说,它是一个以主要轴为源于原点的椭圆形和短轴.第二个等式是以原产地为中心的圆形,并且具有半径.如图所示,圆和椭圆在四个不同的点相交。