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圆锥曲线和标准形式的方程

一个圆锥部分一个平面和一个双右圆的交点是什么.通过改变交叉口的角度和位置,我们可以产生不同类型的锥形。有四种基本类型:椭圆形抛物线.没有一个交点会通过圆锥的顶点。

如果通过垂直于锥体的轴线的平面切割右圆锥,则交叉点是圆形。如果平面与锥形的一件和轴线相交,但不垂直于轴,则交叉点将是椭圆形。为了产生抛物线,交叉平面必须平行于锥的一侧,并且应该与一块双锥形相交。最后,为了产生双曲线,平面与锥体的两块相交。为此,交叉平面的斜率应大于锥体的斜率。

任意二次曲线的一般方程为

一个 x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F 0 在哪里 一个 B C D E F 是常数。

当我们改变某些常数的值时,相应圆锥的形状也会改变。重要的是要知道这些方程的不同之处,以帮助快速识别由给定方程表示的圆锥曲线的类型。
如果 B 2 4 一个 C 小于零,如果圆锥存在,它将是圆或椭圆。
如果 B 2 4 一个 C 如果存在圆锥形,则等于零,这将是抛物线。
如果 B 2 4 一个 C 如果存在圆锥形,则大于零,它将是一个双曲线。


圆锥截面方程的标准形式:

x h 2 + y k 2 r 2

中心是 h k

半径是 r

具有水平长轴的椭圆 x h 2 一个 2 + y k 2 b 2 1

中心是 h k
长轴长度为 2 一个
短轴长度为 2 b
中心与任一焦点之间的距离是 c
c 2 一个 2 b 2 一个 > b > 0



长轴垂直的椭圆 x h 2 b 2 + y k 2 一个 2 1

中心是 h k
长轴长度为 2 一个
短轴长度为 2 b
中心与任一焦点之间的距离是 c
c 2 一个 2 b 2 一个 > b > 0



具有水平横轴的双曲线 x h 2 一个 2 y k 2 b 2 1

中心是 h k
顶点之间的距离是 2 一个
焦点之间的距离是 2 c
c 2 一个 2 + b 2


横轴垂直的双曲线 y k 2 一个 2 x h 2 b 2 1

中心是 h k
顶点之间的距离是 2 一个
焦点之间的距离是 2 c
c 2 一个 2 + b 2


抛物线横轴

y k 2 4 p x h

p 0

顶点是 h k
重点是 h + p k
directrix是线路
x h p
轴是线 y k



垂直轴抛物线

x h 2 4 p y k

p 0

顶点是 h k
重点是 h k + p
directrix是线路
y k p
轴是线 x h



方程组的求解

你一定很熟悉线性方程组的求解.几何上它给出两条或多条直线的交点。以类似的方法,二次方程组的解将给出两个或两个以上二次曲线的交点。

代数可以解决二次方程的系统消除要么代换就像线性系统一样。

例子:

解方程组。

x 2 + 4 y 2 16 x 2 + y 2 9

的系数 x 2 两个方程都是一样的。所以,用第一个方程减去第二个方程来消去变量 x .你会得到:

3. y 2 7

y

3. y 2 3. 7 3. y 2 7 3. y ± 7 3.

利用的价值 y 评估 x

x 2 + 7 3. 9 x 2 9 7 3. 20. 3. x ± 20. 3.

因此,解决方案是 + 20. 3. + 7 3. + 20. 3. 7 3. 20. 3. + 7 3. 20. 3. 7 3.

现在,让我们从几何角度看它。

如果把第一个方程两边都除 x 2 + 4 y 2 16 到了16岁 x 2 16 + y 2 4 1 .也就是说,它是一个以主要轴为源于原点的椭圆形 4 和短轴 2 .第二个等式是以原产地为中心的圆形,并且具有半径 3. .如图所示,圆和椭圆在四个不同的点相交。