二项式定理

一个二项是一个有两项的多项式。二项式定理解释了如何使一个二项式达到一定的非负幂。

这个定理说明 ${（ x + y ）}^{n}$ ，

${（ x + y ）}^{n} ＝ x^{n} + n x^{n - 1} y + ．.. +_{n} C_{r} x^{n - r} y^{r} + ．.. + n x y^{n - 1} + y^{n}$ ，的系数 $x^{n - r} y^{r}$ 是

$_{n} C_{r} ＝ \frac{n ！}{（ n - r ）！ r ！}$

符号 $（ \begin{matrix} n \\ r \end{matrix} ）$ 经常用来代替 $_{n} C_{r}$ 表示二项式系数。

展开式用符号表示为 ${（ x + y ）}^{n} ＝ \sum_{r ＝ 0}^{n}_{n} C_{r} x^{n - r} y^{r}$ ．

注意，每一项变量的次数之和为 $n$ ．

例子:

的系数是多少 ${一个}^{4}$ 在扩张中 ${（ 1 + 一个）}^{8}$ ．

用二项式定理确定展开式的一般项。

展开中的一般项 ${（ x + y ）}^{n}$ 是 $\frac{n ！}{（ n - r ）！ r ！} x^{n - r} y^{r}$ ．

在这里, $x ＝ 1$ ， $y ＝一个$ 和 $n ＝ 8$ ．变量的四次方项 $一个$ 将是展开的第四项。因此,替代 $r ＝ 4$ 在二项式系数中取一般项并求值。

$\begin{array}{l} \frac{8 ！}{（ 8 - 4 ）！ 4 ！} ＝ \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3. \times 2 \times 1} \\ ＝ 70 \end{array}$

因此，的系数 ${一个}^{4}$ 在展开中 $70$ ．