二项式定理

一个二项是一个有两项的多项式。二项式定理解释了如何将一个二项式提高到一定的非负幂。

定理指出，在展开时 ${（ x + y ）}^{n}$ ，

${（ x + y ）}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} y + … +_{n} C_{r} x^{n - r} y^{r} + … + n x y^{n - 1} + y^{n}$ ，的系数 $x^{n - r} y^{r}$ 是

$_{n} C_{r} = \frac{n ！}{（ n - r ）！ r ！}$

符号 $（ \begin{matrix} n \\ r \end{matrix} ）$ 经常用来代替 $_{n} C_{r}$ 表示二项式系数

展开式用符号表示为 ${（ x + y ）}^{n} = \sum_{r = 0}^{n}_{n} C_{r} x^{n - r} y^{r}$ ．

注意，每一项变量的度数之和为 $n$ ．

例子:

的系数是多少 ${一个}^{4}$ 在扩张中 ${（ 1 + 一个）}^{8}$ ．

用二项式定理来确定展开式的一般项。

展开式中的通称 ${（ x + y ）}^{n}$ 是 $\frac{n ！}{（ n - r ）！ r ！} x^{n - r} y^{r}$ ．

在这里, $x = 1$ ， $y = 一个$ 和 $n = 8$ ．有变量四次幂的项 $一个$ 将是扩张的第四个任期。因此,替代 $r = 4$ 在二项式系数的一般项中求值。

$\begin{array}{l} \frac{8 ！}{（ 8 - 4 ）！ 4 ！} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3. \times 2 \times 1} \\ = 70 \end{array}$

因此，的系数 ${一个}^{4}$ 在展开中是 $70$ ．