向量的加减法

要加减两个向量，需要加减相应的分量。

让 $\vec{u} = ⟨ u_{1} ， u_{2} ⟩$ 和 $\vec{v} = ⟨ v_{1} ， v_{2} ⟩$ 是两个向量。

然后，求和 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 是矢量

$\vec{u} + \vec{v} = ⟨ u_{1} + v_{1} ， u_{2} + v_{2} ⟩$

的区别 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 是

$\begin{array}{l} \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + （ - \vec{v} ） \\ = ⟨ u_{1} - v_{1} ， u_{2} - v_{2} ⟩ \end{array}$

两个或两个以上向量的和称为结式。两个向量的结果可以用平行四边形法或者是三角形的方法。

平行四边形方法:

画出这些向量，使它们的初始点重合。然后绘制线条形成一个完整的平行四边形。从初始点到平行四边形的对顶点的对角线是结果。

向量加法:

向量减法:

一个接一个地画向量，把每个连续向量的起始点放在前一个向量的端点上。然后绘制从第一个矢量的起始点到最后一个矢量的终点的结果。此方法也称为头部到尾部的方法。

向量加法:

向量减法:

例子:

找到(a) $\vec{u} + \vec{v}$ 和(b) $\vec{u} - \vec{v}$ 如果 $\vec{u} = ⟨ 3. ， 4 ⟩$ 和 $\vec{v} = ⟨ 5 ， - 1 ⟩$ 。

代入的给定值 $u_{1}$ ， $u_{2}$ ， $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 变成向量加法的定义。

$\begin{array}{l} \vec{u} + \vec{v} = ⟨ u_{1} + v_{1} ， u_{2} + v_{2} ⟩ \\ = ⟨ 3. + 5 ， 4 + （ - 1 ） ⟩ \\ = ⟨ 8 ， 3. ⟩ \end{array}$

重写差值 $\vec{u} - \vec{v}$ 作为一个和 $\vec{u} + （ - \vec{v} ）$ 。我们需要确定的分量 $- \vec{v}$ 。

回想一下, $- \vec{v}$ 一个标量乘以 $- 1$ 次 $v$ 。根据标量乘法的定义，我们有:

$\begin{array}{l} - \vec{v} = - 1 ⟨ v_{1} ， v_{2} ⟩ \\ = - 1 ⟨ 5 ， - 1 ⟩ \\ = ⟨ - 5 ， 1 ⟩ \end{array}$

现在添加的分量 $\vec{u}$ 和 $- \vec{v}$ 。

$\begin{array}{l} \vec{u} + （ - \vec{v} ） = ⟨ 3. + （ - 5 ）， 4 + 1 ⟩ \\ = ⟨ - 2 ， 5 ⟩ \end{array}$