精度和误差

一些数学问题需要一个精确的答案，而对其他的，一个近似的答案就足够了。

当一个问题涉及到对真实世界数量的测量时，总会有某种程度的近似发生。例如，考虑两个涉及时间度量的不同问题。如果问题涉及短跑运动员跑 $One hundred.$ -米短跑，您将需要使用精确的测量:百分之一秒或更好。如果问题与人的年龄有关，通常只要接近最近的年份就足够了。

有时当一个问题涉及根或其他无理数就像π，甚至是一个复杂的分数，使用小数近似是很有用的——至少在最后，当你报告你的答案时。

示例1:

迪安娜正在为她的花园做下面这个形状的铁丝网。求三角形斜边的长度，单位为米。

利用勾股定理，我们得到:

$\begin{array}{l} x^{2} ＝ {3.}^{2} + 7^{2} \\ x^{2} ＝ 9 + 49 \\ x ＝ \sqrt{56} \end{array}$

所以斜边是 $\sqrt{56}$ 米长。这就是答案。但是如果我们想要构建一些东西，这种形式的答案并不是很有用。你怎么剪断一根电线 $\sqrt{56}$ 米长?

好的计算器会告诉你…的值 $\sqrt{56}$ 正确的 $30.$ 小数点后:

$\sqrt{56} \approx 7.483314773547882771167497464633$

即使这只是一个近似值。但这是你需要的更好的近似。在这种情况下,舍入值到最近的厘米(百分之一米)可能就足够了。

$\sqrt{56} ＝ 7.48$

的精度量度或近似值是指与精确值的接近程度。的错误是近似值和精确值之间的差。

当你处理多步问题时，你必须小心近似。有时，一步可以接受的错误可能在最后变成更大的错误。

示例2:

塑料圆盘的形状与圆的形状完全相同 $11$ 英寸直径。求的组合面积 $10 ， 000$ 这样的磁盘。

假设您使用 $3.14$ 作为近似 $π$ ．利用圆的面积公式，我们得到一个圆盘的面积为:

$\begin{array}{l} 一个＝ π r^{2} \\ ＝ π \cdot 11^{2} \\ ＝ 121 π \\ \approx 121 （ 3.14 ） \\ ＝ 379.94 \end{array}$

把这个值乘以 $10 ， 000$ 得到的总面积 $10 ， 000$ 磁盘。

$379.94 \times 10 ， 000 ＝ 3. ， 799 ， 400$

这给出了一个答案 $3. ， 799 ， 400$ 平方英寸。但是等等!

看看当我们使用更准确的值 $π$ 就像 $3.1416$ ：

$\begin{array}{l} 一个＝ 121 π \\ \approx 121 \times 3.1416 \\ ＝ 380.1336 \end{array}$

乘以 $10 ， 000$ 要得到合并的面积:

$380.1336 \times 10 ， 000 ＝ 3. ， 801 ， 336$

这几乎是 $2000$ 比我们之前估计的多一平方英寸!