准确性和误差

有些数学问题需要一个精确的答案，而对于另一些问题，一个近似的答案就足够了。

当一个问题涉及到实际量的测量时，总会出现某种程度的近似。例如，考虑两个涉及时间度量的不同问题。如果问题涉及短跑运动员跑 $One hundred.$ 1米短跑，你将需要使用精确的测量:百分之一秒或更好。如果问题涉及到人们的年龄，通常可以近似到最近的年份。

有时当一个问题涉及到根或其他无理数就像π，甚至是一个复杂的分数，使用十进制近似值是有用的——至少在最后，当你报告你的答案时。

示例1:

迪安娜正在为她的花园做铁丝网，如下图所示。求三角形斜边的长度，单位是米。

利用勾股定理，我们得到:

$\begin{array}{l} x^{2} = {3.}^{2} + 7^{2} \\ x^{2} = 9 + 49 \\ x = \sqrt{56} \end{array}$

所以斜边是 $\sqrt{56}$ 米长。这就是正确的答案。但是，如果我们想要构建一些东西，那么以这种格式给出答案并不是很有用。你怎样剪断一根电线 $\sqrt{56}$ 米长?

好的计算器会告诉你的值 $\sqrt{56}$ 正确的 $30.$ 小数点后:

$\sqrt{56} \approx 7.483314773547882771167497464633$

这只是个近似值。但这是一个更好的近似。在这种情况下，舍入精确到厘米(百分之一米)的值可能就足够了。

$\sqrt{56} = 7.48$

的精度测量值或近似值的接近程度。的错误是近似值和准确值之间的差。

当你在处理多步骤问题时，你必须小心使用近似值。有时，在某一步可以接受的错误可能会在最后变成更大的错误。

示例2:

塑料圆盘的形状正好是圆的 $11$ 直径英寸。求的合面积 $10 ， 000$ 这样的磁盘。

假设你使用 $3.14$ 作为近似的 $π$ ．利用圆的面积公式，我们得到一个圆盘的面积为:

$\begin{array}{l} 一个 = π r^{2} \\ = π \cdot 11^{2} \\ = 121 π \\ \approx 121 （ 3.14 ） \\ = 379.94 \end{array}$

将这个值乘以 $10 ， 000$ 得到的合面积 $10 ， 000$ 磁盘。

$379.94 \times 10 ， 000 = 3. ， 799 ， 400$

这给出了一个答案 $3. ， 799 ， 400$ 平方英寸。但是等等!

看看当我们使用更精确的值会发生什么 $π$ 就像 $3.1416$ ：

$\begin{array}{l} 一个 = 121 π \\ \approx 121 \times 3.1416 \\ = 380.1336 \end{array}$

把这个乘以 $10 ， 000$ 要得到合并的面积:

$380.1336 \times 10 ， 000 = 3. ， 801 ， 336$

这几乎 $2000$ 比我们之前估计的多平方英寸!