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三角学:角和恒等式

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例子问题

例子问题1:角和恒等式

鉴于 $\phi = \pi$ ，什么是 $\tan\left ( \theta + \phi \right )$ ?

可能的答案:

$\cos\left ( \theta\right )$

$\sin\left ( \theta\right )$

$\tan\left ( \theta\right )$

正确答案:

$\tan\left ( \theta\right )$

解释：

我们需要使用这个公式

$\tan\left ( \theta \pm \phi\right ) = \frac{\tan(\theta) \pm \tan(\phi)}{1 \mp \tan(\theta)\tan(\phi)}$

替换 $\phi = \pi$ , $\tan (\pi) = 0$ ，

$\tan\left ( \theta + \pi\right ) = \frac{\tan(\theta) + \tan(\phi)}{1 - \tan(\theta)\tan(\phi)} = \frac{\tan(\theta) + 0}{1 - \tan(\theta)\left ( 0\right )} = \tan(\theta)$

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例子问题2:角和恒等式

求的确切值 $\cos 105^{\circ}$ 使用 $105^{\circ} = 60^{\circ}+45^{\circ}$ ．

可能的答案:

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\frac{-(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}$

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\frac{-\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

解释：

cos的基本求和公式是:

$\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b$

将相关角代入，得到:

$\cos 105^{\circ}=\cos 60^{\circ}\cos 45^{\circ} - \sin 60^{\circ}\sin 45^{\circ}$

现在代入每个函数的确切值，简化以使分母不包含自由基:

$\cos 105^{\circ} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt {2}}{2}$

乘减得到:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

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例子问题3:角和恒等式

找到表达式的确切值:

$\sin 60^{\circ}\cos 30^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 30^{\circ}$

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

表达式未定义。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

解释：

有两种方法可以解决这个问题。如果你能认出这个身份

$\sin (a+b)= \sin a\cos b + \cos a\sin b$ ，

答案很简单:

$\sin 60^{\circ}\cos 30^{\circ} + \cos 60^{\circ}\sin 30^{\circ} = \sin (60^{\circ}+30^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1$

如果你遗漏了标识，或者希望更彻底，你可以简化:

$\sin 60^{\circ}\cos 30^{\circ} + \cos 60^{\circ}\sin 30^{\circ}$

$=\bigg (\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)\cdot\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)\bigg)+\bigg(\bigg(\frac{1}{2}\bigg)\cdot\bigg(\frac{1}{2}\bigg)\bigg)=\frac{3}{4} + \frac{1}{4}=1$

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问题4:角和恒等式

找到表达式的确切值:

$\cos\bigg(\frac{5\pi }{6}\bigg)\cos\bigg(\frac{2\pi}{3}\bigg)+\sin\bigg(\frac{5\pi}{6}\bigg)\sin\bigg(\frac{2\pi}{3}\bigg)$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解释：

两个角之差的余弦的公式是

$\cos (a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$

换元法，我们发现

$a= \frac{5\pi}{6}$

而且

$b= \frac{2\pi}{3}$

因此，我们真正想要的是

$\cos (a-b)= \cos \bigg(\frac{5\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}\bigg) = \cos\bigg(\frac{\pi}{6}\bigg) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

因此,

$\cos \bigg(\frac{5\pi}{6}\bigg)\cos\bigg(\frac{2\pi}{3}\bigg) + \sin\bigg (\frac{5\pi}{6}\bigg)\sin\bigg(\frac{2\pi}{3}\bigg) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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例5:角和恒等式

求的确切值 $\tan 75^{\circ}$ 使用 $\tan 30^{\circ}$ 而且 $\tan 45^{\circ}$ ．

可能的答案:

$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

$2-\sqrt{3}$

$\frac{3\sqrt{2}}{3}$

$2+\sqrt{3}$

用给定的信息无法精确地求出这个量。

正确答案:

$2+\sqrt{3}$

解释：

tan的和恒等式说明了这一点

$\tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a\tan b}$

用已知值代替 $\tan 30^{\circ}$ 而且 $\tan 45^{\circ}$ ，我们有

$\tan (30^{\circ} + 45^{\circ}) = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}$

为方便起见，将所有项乘以 $\sqrt{3}$ 得到 $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ ．

此时，将分数的两半乘以分母的共轭:

$\bigg(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\bigg)\cdot\bigg(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\bigg) = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}$

最后,简化。

$\frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

所以, $\tan 75^{\circ} = 2+\sqrt{3}$ ．

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例子问题6:角和恒等式

假设有两个角，而且，使:

$sin\ A = 0.10$

$cos\ B = 0.10$

进一步，假设这个角度在第一象限和角度位于第四。

什么是衡量:

Sin(A - 2B)?

可能的答案:

-0.10

0.2

0.08

0.10

-0.02

正确答案:

0.10

解释：

我们可以用勾股定理计算一些缺失的值。

$sin^2\ B = 1 - cos^2B = 1 - 0.01 = 0.99$

$sin\ B = {0.99}^\frac{1}{2} = -0.995$

(注意这个负号，因为在第四象限，角的正弦值总是负的)

$cos\ A = \sqrt{1 - sin^2A} = \sqrt{1 - 0.01} = \sqrt{0.99} = 0.995$

注意这个正值，因为在第一象限，cos是正的。

现在使用两倍角的规则:

$cos\ 2B = 2\ cos^2 B - 1 = 2 * 0.1^2 - 1 = -0.98$

$sin\ 2B = 2\ cos\ B\ sinB = 2 \ * 0.1 \ * -0.995 = -0.199$

然后是角度减法公式:

$sin(A - 2B) = sin\ A \ cos \ 2B\ - cos\ A \ sin 2B$

$= (0.1 * -0.98) \ - (0.995 * -0.199)$

$= \textbf{0.10}$

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示例问题7:角和恒等式

计算 $sin(105^\circ)$ ．

可能的答案:

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\frac{3\sqrt{6}+\sqrt3}{4}$

$\frac{3\sqrt{6}+1}{4}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

解释：

回想一下两个角之和的正弦公式:

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)

这里，我们可以求值 $sin(105^{\circ})$ 注意到 $105^{\circ}=60^{\circ}+45^{\circ}$ 把上面的公式应用到这两个角的正弦和余弦上。

$sin(60^{\circ}+45^{\circ})=sin(60^{\circ})cos(45^{\circ})+sin(45^{\circ})cos(60^{\circ})$

$=(\frac{\sqrt3}{2})(\frac{\sqrt2}{2})+(\frac{\sqrt2}{2})(\frac{1}{2})$

$=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

因此,

$sin(105^{\circ})=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

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例8:角和恒等式

价值是什么 $\cos(540)$ ，使用求和公式。

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

的公式

$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$ ．

我们可以展开

540=180+360 ，

在哪里 A=180 而且 B=360 ．

把这些值代入方程，我们得到

$\cos(180+360)=\cos(180)\cos(360)-\sin(180)\sin(360)$ ．

最后的答案是-1，用我们已知的单位圆的值。

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示例问题31:三角函数

化简给定的表达式。

$\sin(x+y)-sin(x-y)$

可能的答案:

$2\cos x\sin y$

$\sin 2xy$

$\cos^2 x$

$\cos x\sin y$

$\sin 2y$

正确答案:

$2\cos x\sin y$

解释：

这个问题需要使用两个角和/差恒等式:

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

利用这些恒等式，我们得到

$(\sin x\cos y+\cos x\sin y)-(\sin x\cos y-\cos x\sin y)$

化简为

$\sin x\cos y+\cos x\sin y-\sin x\cos y+\cos x\sin y$

等于

$2\cos x\sin y$

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示例问题31:三角函数

可能的答案:

$\small 2$

$\small 1$

$\small \small- \frac{1}{2}$

$\small \frac{1}{3}$

$\small \frac{1}{2}$

正确答案:

$\small \small- \frac{1}{2}$

解释：

解决方案

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