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SSAT高级数学:等差数列的第n项

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例子问题

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例子问题1:如何求等差数列的第n项

等差数列的前两项是1000和997，按此顺序。第七十项是什么?

可能的答案:

793

796

1,210

1,207

790

正确答案:

793

解释：

第一项是 $x_{0} = 1,000$ ．

共同的区别是

997 - 1,000 = -3 ．

第七十项是

$x_{69} = x_{0}+ 69 \cdot d= 1,000 + 69 \cdot (-3)= 1,000 - 207 = 793$ ．

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例子问题531:数字概念和操作

等差数列的前两项是4和9，按此顺序。给出这个数列的第100项。

可能的答案:

494

904

899

499

504

正确答案:

499

解释：

第一项是 $x_{0} = 4$ ；共同的区别是

d = 9-4 = 5 ．

第100项是

$x_{99} = x_{0} + 99 d = 4 + 99 \cdot5 = 4 + 495 = 499$ ．

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例子问题1:等差数列的第n项

等差数列的开头如下:

-128, -124.7,...

下列哪一项是数列中第一个正数?

可能的答案:

三十七项

三十九项

三十八项

这个数列没有正数项。

四十项

正确答案:

四十项

解释：

序列的共同差异是

-124.7 - (-128) = 3.3 ，

因此,这个序列的第Th项是

$a_{n} = -128 + 3.3 (n-1)$

找出它的最小值 $a_{n} > 0$ ，建立这个不等式:

-128 + 3.3 (n-1) > 0

-128 + 3.3 n-3.3 > 0

3.3 n-131.3 > 0

3.3 n>131.3

n > 39.8

第一个正项是第四十项。

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例子问题1:等差数列的第n项

等差数列的开头如下:

5.7, 8.1,...

下面哪个选项第一项大于100?

可能的答案:

税收方面的术语

四十项

44项

第四十一届任期

四十二项

正确答案:

第四十一届任期

解释：

序列的共同差异是

8.1 - 5.7 = 2.4

因此,这个序列的第Th项是

$a_{n} =5.7+2.4 (n-1)$

找出它的最小值 $a_{n} > 100$ ，建立这个不等式:

5.7+2.4 (n-1) > 100

5.7+2.4 n-2.4 > 100

2.4 n +3.3 > 100

2.4 n > 96.7

$n > 96.7 \div 2.4 \approx 40.3$

第41项是正确答案。

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示例问题5:如何求等差数列的第n项

等差数列的开头如下:

300, 297.3,...

下列哪一项是数列中第一个负项?

可能的答案:

第一百三项

第140项

第一百一项

第111项

第一百零一项

正确答案:

第一百三项

解释：

序列的共同差异是

297.3 - 300 = -2.7

因此,这个序列的第Th项是

$a_{n} = 300 -2.7 (n-1)$

找出它的最小值 $a_{n} < 0$ ，建立这个不等式:

300 -2.7 (n-1) < 0

300 -2.7 n+2.7 < 0

302.7-2.7 n < 0

302.7 < 2.7 n

2.7 n > 302.7

$n > 302.7 \div 2.7 \approx 112.1$

第一个负数是第113项。

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示例问题6:如何求等差数列的第n项

等差数列的开头如下:

$155 \frac{5}{6}, 153 \frac{3}{4},...$

下列哪一项是数列中第一个负项?

可能的答案:

第七十四项

第七十六项

第七十五项

第七十八项

第七十七项

正确答案:

第七十六项

解释：

序列的共同差异是

$153 \frac{3}{4}- 155 \frac{5}{6}= -2 \frac{1}{12}$

因此,这个序列的第Th项是

$a_{n} = 155\frac{5}{6}-\left (2 \frac{1}{12} \right )(n-1)$

找出它的最小值 $a_{n} < 0$ ，建立这个不等式:

$155\frac{5}{6}-\left (2 \frac{1}{12} \right )(n-1) < 0$

$155\frac{5}{6}-\left (2 \frac{1}{12} \right ) n + 2\frac{1}{12} < 0$

$157\frac{11}{12}-\left (2 \frac{1}{12} \right ) n < 0$

$157\frac{11}{12} < \left (2 \frac{1}{12} \right ) n$

$\left (2 \frac{1}{12} \right ) n > 157\frac{11}{12}$

$n > 157\frac{11}{12} \div 2 \frac{1}{12} = 75 \frac{4}{5}$

第76项是第一个负项。

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示例问题7:如何求等差数列的第n项

等差数列的开头如下:

$-78 \frac{2}{3}, -75 \frac{4}{5},...$

下列哪一项是数列中第一个正数?

可能的答案:

二十七项

28日的术语

29日的术语

30项

这个数列没有正数项。

正确答案:

29日的术语

解释：

序列的共同差异是

$-75 \frac{4}{5} - \left ( -78 \frac{2}{3} \right ) =2 \frac{13}{15}$ ，

因此,这个序列的第Th项是

$a_{n} = - 78\frac{2}{3} + \left ( 2\frac{13}{15} \right ) (n-1)$

找出它的最小值 $a_{n} > 0$ ，建立这个不等式:

$- 78\frac{2}{3} + \left ( 2\frac{13}{15} \right ) (n-1) > 0$

$- 78\frac{2}{3} + \left ( 2\frac{13}{15} \right ) n - 2\frac{13}{15} > 0$

$\left ( 2\frac{13}{15} \right ) n - 81\frac{8}{15} > 0$

$\left ( 2\frac{13}{15} \right ) n > 81\frac{8}{15}$

$n > 81\frac{8}{15} \div 2\frac{13}{15} = 28 \frac{19}{43}$

数列中第一个正数是第29项。

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例子问题2:等差数列的第n项

等差数列的开头如下:

$1 \frac{1}{7}, 3 \frac{1}{4},...$

下面哪个选项第一项大于100?

可能的答案:

47项

五十项

49项

48项

第五十一项

正确答案:

48项

解释：

序列的共同差异是

$3 \frac{1}{4} - 1 \frac{1}{7} = 2\frac{3}{28}$

因此,这个序列的第Th项是

$a_{n} = 1\frac{1}{7} + \left ( 2\frac{3}{28} \right ) (n-1)$

找出它的最小值 $a_{n} > 100$ ，建立这个不等式:

$1\frac{1}{7} + \left ( 2\frac{3}{28} \right ) (n-1) > 100$

$1\frac{1}{7} + \left ( 2\frac{3}{28} \right ) n -2\frac{3}{28} > 100$

$\left ( 2\frac{3}{28} \right ) n - \frac{27}{28} > 100$

$\left ( 2\frac{3}{28} \right ) n > 100 \frac{27}{28}$

$n > 100 \frac{27}{28} \div 2\frac{3}{28} = 47 \frac{54}{59}$

正确的答案是第48项。

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示例问题9:如何求等差数列的第n项

等差数列的第十项和第十二项是8.4和10.2。它的第一项是什么?

可能的答案:

1.8

1.2

0.3

-0.6

0.9

正确答案:

0.3

解释：

的具有初始项的等差数列的第Th项 $a_{1}$ 和普通的区别是由方程定义的吗

$a_{n} = a_{1}+ (n-1)d$

由于第十项和第十二项是分开的两项，因此有如下的共同之处:

$a_{10}+2d=a_{12}$

8.4+2d=10.2

8.4+2d- 8.4=10.2 - 8.4

2d=1.8

d = 0.9

现在，我们可以设置了 n = 10, d = 0.9 在序列方程中求 $a_{1}$ ：

$a_{n} = a_{1}+ (n-1)d$

$a_{10} = a_{1}+ (10-1)0.9$

$8.4 = a_{1}+ 9 \cdot 0.9$

$8.4 = a_{1}+ 8.1$

$8.4 - 8.1 = a_{1}+ 8.1 - 8.1$

$a_{1} = 0.3$

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例子问题1:等差数列的第n项

等差数列的第十一项和第十三项分别为11和14。给出它的第一项。

可能的答案:

$-2\frac{1}{2}$

$1\frac{1}{2}$

$-5\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

的具有初始项的等差数列的第Th项 $a_{1}$ 和普通的区别是由方程定义的吗

$a_{n} = a_{1}+ (n-1)d$

由于第十一项和第十三项是分开的两项，因此有如下共同之处:

$a_{11}+2d=a_{13}$

11+2d=14

11+2d -11=14 -11

2d = 3

$d = \frac{3}{2}$

现在，我们可以设置了 $n = 11, d =\frac{3}{2}$ 在序列方程中求 $a_{1}$ ：

$a_{11} = a_{1}+ (11-1) \frac{3}{2}$

$11= a_{1}+ 10 \cdot \frac{3}{2}$

$11= a_{1}+ 15$

$11- 15= a_{1}+ 15 - 15$

$a_{1} = -4$

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