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SAT数学:圆

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例子问题

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问题444:Sat数学

给用弧度表示:

$\frac{x+\pi}{x-\pi}=30^{\circ}$

可能的答案:

$x=\frac{\pi+6}{\pi-6}$

$x=\frac{\pi(\pi+6)}{\pi-6}$

$x=\frac{\pi(\pi+8)}{\pi-8}$

$x=\frac{\pi(\pi-6)}{\pi+6}$

正确答案:

$x=\frac{\pi(\pi+6)}{\pi-6}$

解释：

首先，我们需要通过乘以将角度转换为弧度 $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ ：

$30^{\circ}\times \frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{\pi}{6}$

现在我们可以写:

$\frac{x+\pi}{x-\pi}=\frac{\pi}{6}\Rightarrow 6(x+\pi)=\pi(x-\pi)$

$\Rightarrow 6x+6\pi=x\pi-\pi^2\Rightarrow 6x-x\pi=-6\pi-\pi^2$

$\Rightarrow x(6-\pi)=-\pi(\pi+6)$

$\Rightarrow x=\frac{-\pi(\pi+6)}{6-\pi}=\frac{\pi(\pi+6)}{\pi-6}$

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例子问题1:使用弧度

给用弧度表示:

$\frac{72^{\circ}-\pi}{2x-\pi}=3$

可能的答案:

$x=\frac{2\pi}{5}$

$x=\frac{3\pi}{5}$

$x=\frac{\pi}{5}$

$x=\frac{4\pi}{5}$

正确答案:

$x=\frac{2\pi}{5}$

解释：

首先，我们需要转换 $72^{\circ}$ 乘以弧度 $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ ：

$72^{\circ}\times \frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{2\pi}{5}$

现在我们可以解下面的方程：

$\frac{72^{\circ}-\pi}{2x-\pi}=3\Rightarrow \frac{\frac{2\pi}{5}-\pi}{2x-\pi}=3$

$\Rightarrow {\frac{2\pi}{5}-\pi}=3(2x-\pi)\Rightarrow \frac{2\pi-5\pi}{5}=6x-3\pi$

$\Rightarrow -3\pi=30x-15\pi\Rightarrow 30x=12\pi$

$\Rightarrow x=\frac{12\pi}{30}\Rightarrow x=\frac{2\pi}{5}$

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例子问题1:使用弧度

有多少学位 $\frac{5\pi}{6}$ 弧度?

可能的答案:

$210^\circ$

$180^\circ$

$150^\circ$

$130^\circ$

正确答案:

$150^\circ$

解释：

自 $180^\circ=\pi\ \text{radians}$ ，我们可以通过建立一个比例来求解:

$\frac{x}{\frac{5\pi}{6}}=\frac{180^\circ}{\pi}$

交叉相乘并解。

$180^\circ*\frac{5\pi}{6}=x*\pi$

$\frac{900\pi}{6}=x*\pi$

$150\pi=x*\pi$

$\frac{150\pi}{\pi}=x$

$150^\circ=x$

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例子问题2:使用弧度

将以下表达式改为度数:

$\frac{\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$

可能的答案:

$75^{\circ}$

$60^{\circ}$

$120^{\circ}$

$90^{\circ}$

正确答案:

$60^{\circ}$

解释：

首先，我们需要简化表达式:

$\frac{\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=\frac{\frac{2\pi-\pi}{6}}{\frac{2+1}{6}}=\frac{\pi}{3}$

现在乘 $\frac{180^{\circ}}{\pi}$ ：

$\frac{\pi}{3}\times \frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$

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例子问题1:使用弧度

将以下表达式转换为弧度:

$\frac{45^{\circ}+30^{\circ}}{45-30}$

可能的答案:

$\frac{\pi}{36}$

$\frac{\pi}{30}$

$\frac{5\pi}{36}$

$\frac{7\pi}{36}$

正确答案:

$\frac{\pi}{36}$

解释：

首先，我们需要简化表达式:

$\frac{45^{\circ}+30^{\circ}}{45-30}=\frac{75^{\circ}}{15}=5^{\circ}$

为了把角度变成弧度，我们需要乘以 $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ ：

$5^{\circ}\times \frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{\pi}{36}$

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示例问题3:使用弧度

简化并给出以下以度数为单位的表达式:

$\frac{\frac{2\pi}{7}+\frac{\pi}{14}}{\frac{1}{7}}$

可能的答案:

$350^{\circ}$

$420^{\circ}$

$480^{\circ}$

$450^{\circ}$

正确答案:

$450^{\circ}$

解释：

首先，我们需要简化表达式:

$\frac{\frac{2\pi}{7}+\frac{\pi}{14}}{\frac{1}{7}}=\frac{\frac{4\pi+\pi}{14}}{\frac{1}{7}}=\frac{5\pi}{2}$

然后乘以 $\frac{180^{\circ}}{\pi}$ ：

$\frac{5\pi}{2}\times \frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{5\times 180^{\circ}}{2}=450^{\circ}$

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问题450:Sat数学

转换 $\frac{7\pi}{4}$ 弧度为度。

可能的答案:

$315$^{\circ}$$

$225$^{\circ}$$

$285$^{\circ}$$

$345$^{\circ}$$

正确答案:

$315$^{\circ}$$

解释：

回想一下单位圆中“弧度”的定义:

$180$^{\circ}$ = \pi rad$

题目中给出的弧度的数量是 $\frac{7\pi}{4}$ ．要把这个度数转换成度数，所需要做的就是用度数表示未知角的度数 $\Theta$ 用前面提到的弧度和度的关系建立一个比例方程:

$\frac{180^{\circ}}{\Theta} = \frac{\pi rad}{\frac{7\pi}{4} rad}$

将这些分数的分母交叉相乘得到:

$1260^{\circ}\pi rad=4\Theta\pi rad$

或

$315^{\circ}\pi rad =\Theta\pi rad$ ．

消去这些方程中的同类项就得到

$\Theta = 315^{\circ}$

因此，正确的角度测量 $\frac{7\pi}{4}$ 在度 $315^{\circ}$ ．

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例子问题1:使用弧度

$\frac{37\pi}{18}$ 弧度等于多少度?

可能的答案:

$350^\circ$

$370^\circ$

$185^\circ$

$10^\circ$

正确答案:

$370^\circ$

解释：

1弧度等于 $\frac{180}{\pi}$ 度。利用这个转换因子，

$\frac{37\pi}{18}\times\frac{180}{\pi}=37\times10=370$ ．

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例子问题2:使用弧度

简化你的答案。

转换 $45^{\circ}$ 弧度:

可能的答案:

$\frac{\pi }{2}$

$\frac{\pi }{4}$

$\frac{1 }{4}$

$\frac{\pi }{8}$

正确答案:

$\frac{\pi }{4}$

解释：

我们知道:

$360^{\circ}=2\pi$ 弧度

因为给出的角度是以度为单位的，所以我们乘以

$45^{\circ}*\frac{\pi}{180^{\circ}}= \frac{\pi}{4}$

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例子问题2:使用弧度

给出你的答案 $\pi$ ．

转换 $165^{\circ}$ 弧度:

可能的答案:

$\frac{11\pi}{24}$

$\frac{11\pi}{12}$

$\frac{12\pi}{11}$

$\frac{11\pi}{6}$

正确答案:

$\frac{11\pi}{12}$

解释：

要将角度转换为弧度，我们需要将给定的角度乘以 $\frac{\pi}{180^{\circ}}$ ．

$165*^{\circ}\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{165\pi}{180}$

简化一下，我们得到:

$\frac{11\pi}{12}$

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