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SAT数学:直接和反变分

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例子问题

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例子问题1:变量

菲利普可以油漆每分钟墙的平方英尺。他能在2.5个小时内把什么面积的墙刷完?

可能的答案:

$150y\ ft^2$

$300y\ ft^2$

$2.5y\ ft^2$

$50y\ ft^2$

$25y\ ft^2$

正确答案:

$150y\ ft^2$

解释：

菲利普每分钟都在完成一个任务一平方英尺的绘画。为了解出他完成的总面积，我们需要算出他工作的分钟数。

一小时有60分钟，他画了2.5个小时。相乘得到总分钟数。

$(60\frac{min}{hr})(2.5hr)=150min$

如果他完成每分钟平方英尺，然后我们可以相乘通过总时间来找到最终答案。

$(y\frac{ft^2}{min})(150min)=150y\ ft^2$

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例子问题1:正逆变分

的价值与的平方成正比而立方．如果 y=24 当 x=1 而且 z=2 ，那么什么是价值当 x=3 而且 z=1 ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

让我们考虑一下一般情况y变化直接与x．如果y变化直接与x，那么我们可以用下面的公式来表示它们之间的关系:

y＝kx,在那里k是一个常数。

因此,如果y的平方直接变化x而立方z，我们可以写出以下类比方程:

y＝kx²z^3.,在那里k是一个常数。

这个问题指出y= 24时x= 1,z= 2。我们可以用这个信息来解k用已知值替换y，x,z．

24 =k(1）²（2）^3.＝k(1) (8) = 8k

24 = 8k

两边同时除以8。

3 =k

k= 3

既然我们有k，我们可以发现y如果我们知道x而且z．问题要求我们找到y当x= 3,z= 1。我们将再次使用我们的公式直接变化，这一次的值替换为k，x,z．

y＝kx²z^3.

y= 3 (3)²(1）^3.= 3(9)(1) = 27

y= 27

答案是27。

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示例问题3:如何使用直接变分公式

在成长期，苍蝇的数量每周增加两倍。如果原种群中有3只苍蝇，4周后的种群数量是多少?

可能的答案:

$243$

$2187$

$27$

$729$

$81$

正确答案:

$243$

解释：

我们知道初始种群数是3，每周种群数会增加三倍。

模拟这种增长的方程式将是 i(r)^n ,在那里是初始大小，是增长率，和是时候了。

在这种情况下，方程将是 3(3)^4 ．

3(3)^4=3(81)=243

或者，你也可以连续一周进行评估。

第一周: 3(3)=9

2周: 3(9)=27

第三周: 3(27)=81

4周: 3(81)=243

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例子问题1:如何使用直接变分公式

而且分别是同一圆的直径和周长。

$d = 12L^{2}$

$C = t^{2}$

下列哪项是正确的陈述?(假设所有数量都是正的)

可能的答案:

成正比．

的四次根直接变化．

的四次方成反比．

的四次方直接变化．

的四次根成反比．

正确答案:

成正比．

解释：

如果而且那么，直径和周长分别是同一个圆吗

$C = \pi d$ ．

通过替换,

$t^{2} = \pi \cdot 12 L^{2}$

$t^{2} = 12 \pi L^{2}$

两边同时取平方根:

$\sqrt{t^{2} }= \sqrt{12 \pi L^{2}}$

$t = \sqrt{12 \pi} \cdot \sqrt{L^{2}}$

$t = \sqrt{12 \pi} \cdot L$

采取 $K= \sqrt{12 \pi}$ 作为变化的常数，我们得到

t =K L ，

这意味着成正比．

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例子问题2:如何使用直接变分公式

为圆锥底的半径;是它的高度;是它的体积。

$n = 4r = h^{2}$ ； $m = V ^{2}$ ．

下列哪项是正确的陈述?

可能的答案:

的五次根直接变化．

成正比．

的立方根直接变化．

的五次方直接变化．

的三次方直接变化．

正确答案:

的五次方直接变化．

解释：

圆锥体的体积可以由它底的半径来计算，和高度，用公式

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2}h$

n = 4r ,所以 $r = \frac{n}{4}$ ．

$n = h^{2}$ ,所以 $h = \sqrt{n}$ ．

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2}h$ ，通过代换，

$V = \frac{1}{3} \pi\left ( \frac{n}{4} \right ) ^{2} \cdot \sqrt{n}$

$V = \frac{1}{3} \pi\left ( \frac{n^{2}}{16} \right ) \cdot \sqrt{n}$

$V = \frac{1}{48} \pi \cdot n^{2}} \sqrt{n}$

方双方:

$V ^{2 }=\left ( \frac{1}{48} \pi \cdot n^{2}} \sqrt{n} \right )^{2}$

$m=\left ( \frac{1}{48} \pi \right )^{2} \cdot \left ( n^{2}} \sqrt{n} \right )^{2}$

$m=\left ( \frac{1}{48} \pi \right )^{2} \cdot \left ( n^{2}} \right )^{2} \cdot \left ( \sqrt{n} \right )^{2}$

$m=\left ( \frac{1}{48} \pi \right )^{2} \cdot n^{4}} \cdot n$

$m=\left ( \frac{1}{48} \pi \right )^{2} \cdot n^{5}}$

如果我们把 $K = \left ( \frac{1}{48} \pi \right )^{2}$ 作为变化的常数，那么

$m=K n^{5}}$ ，

而且的五次方直接变化．

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例子问题1:如何使用直接变分公式

而且分别是给定球体的半径和体积。

$r ^{6} = Q$

$W = \sqrt[3]{V}$ ．

下列哪项是正确的陈述?

可能的答案:

的六次方成反比 $W\;$ ．

的六次方根成反比 $W\;$ ．

的六次根直接变化 $W\;$ ．

成正比 $W\;$ ．

的六次方直接变化 $W\;$ ．

正确答案:

的六次方直接变化 $W\;$ ．

解释：

球体的体积可由其半径计算如下:

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

因此，两边平方，我们得到

$V ^{2}=\left ( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right )^{2}$

$V ^{2}=\left ( \frac{4}{3} \pi \right )^{2}r^{3\cdot 2}$

$V ^{2}=\left ( \frac{4}{3} \pi \right )^{2}r^{6}$

$W = \sqrt[3]{V}$

$W ^{6 }= \left (\sqrt[3]{V} \right ) ^{6}$

$W ^{6 }= \left ( V ^{\frac{1}{3}}\right ) ^{6} = V ^{\frac{1}{3} \cdot 6} = V^{2}$

替换:

$V ^{2}=\left ( \frac{4}{3} \pi \right )^{2}r^{6}$

$W ^{6 }=\left ( \frac{4}{3} \pi \right )^{2}Q$

$\frac{1}{\left ( \frac{4}{3} \pi \right )^{2}}W ^{6 }= \frac{1}{\left ( \frac{4}{3} \pi \right )^{2}} \cdot \left ( \frac{4}{3} \pi \right )^{2}Q$

$Q = \frac{1}{\left ( \frac{4}{3} \pi \right )^{2}}W ^{6 }$

如果我们让变化常数是 $K = \frac{1}{\left ( \frac{4}{3} \pi \right )^{2}}$ 我们可以看到

$Q = K W ^{6 }$ ，

而且成正比 $W^{6}$ 的六次方 $W \:$ ．

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例子问题1:如何使用直接变分公式

海洋表面的温度是 $25^{\circ}C$ ．在 2500 海平面以下几米，海洋温度是 $5^{\circ}C$ ．根据温度下降的多少 100 在海平面以下几米的地方?

可能的答案:

$1^{\circ}$

$\frac{4}{5}^{\circ}$

$2^{\circ}$

$\frac{3}{4}^{\circ}$

正确答案:

$\frac{4}{5}^{\circ}$

解释：

这可能看起来令人困惑，但非常简单。

x_1=0

x_2=-2500

y_1=25

y_2=5

$\text{Slope}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$\text{Slope}=\frac{5-25}{-2500-0}$

$\text{Slope}=\frac{-20}{-2500}=\frac{125}{1}$

因此，地表下每125米，温度就下降一度。

为了求出它每100米减少多少，我们需要做以下工作:

$\frac{100}{125}=\frac{4}{5}$

因此，温度下降为 $\frac{4}{5}^{\circ}$ 每100米。

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例子问题1:如何使用逆变分公式

的平方的立方成反比．如果 x=8 当 y=8 ，那么什么是价值当 x=1 ?

可能的答案:

8^5

$2^{15}$

正确答案:

解释：

当两个量呈反比变化时，它们的乘积总是等于一个常数，我们称之为k。如果x的平方和y的立方呈反比变化，这意味着x的平方和y的立方的乘积等于k。我们可以用x表示x的平方²y的立方是y^3.．现在，我们可以写出逆变分的方程。

x²y^3.= k

已知当x = 8时，y = 8。我们可以把这些值代入逆变分方程然后解出k。

8²(8^3.) = k

k = 8²(8^3.）

因为这可能是一个很大的数，保持指数形式可能会有帮助。我们应用指数的性质，也就是a^b一个^c=一个^{b + c}．

k = 8²(8^3.) = 8^{2 + 3}= 8⁵．

接下来，我们必须找出当x = 1时y的值。用我们的反变分方程，代入8⁵在k。

x²y^3.= 8⁵

(1）²y^3.= 8⁵

y^3.= 8⁵

为了解决这个问题，我们必须取立方根。因此，它将有助于将8改写为2的立方，或2^3.．

y^3.= (2^3.）⁵

我们现在可以应用指数的性质(a^b）^c=一个^公元前．

y^3.= 2^3•5= 2¹⁵

为了得到y单独，我们要把方程两边各取1/3次幂。

(y^3.）^(1/3)= (2¹⁵）^(1/3)

再一次，让我们应用属性(a^b）^c=一个^公元前．

y^(3•1/3)= 2^(15•1/3)

y = 2⁵= 32

答案是32。

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例子问题2:如何使用逆变分公式

成正比和反向．

$z = y ^{2}$ 而且 $B = \sqrt{A}$ ．

下列哪项是正确的?

可能的答案:

的平方根直接变化逆的四次根．

直接变化为√的四次根．

的平方成反比直接等于的四次方．

的平方直接变化逆的四次方．

与的平方根成反比直接作为的四次根．

正确答案:

的平方成反比直接等于的四次方．

解释：

成正比和反向所以对于某个变化常数，

$\frac{xy}{A} =K$ ．

我们可以两边平方得到:

$\left (\frac{xy}{A} \right ) ^{2}=K^{2}$

$\frac{x^{2}y^{2}}{A^{2}}= K^{2}$

$z = y ^{2}$ ．

$B = \sqrt{A}$ ,所以 $B^{4} =\left ( \sqrt{A} \right )^{4} = A^{2}$ ．

通过替换,

$\frac{x^{2}z}{B^{4}}= K^{2}$ ．

使用 $K^{2}$ 作为变化的常数，我们可以看到的平方成反比直接等于的四次方．

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示例问题3:如何使用逆变分公式

圆柱体底的半径是；同一圆柱体的高度为；圆柱体的体积是1000。

$t = \sqrt{r}$

$v = \sqrt[4]{h}$

下列哪项是正确的陈述?

假设所有的量都是正的。

可能的答案:

的平方根变化．

的平方直接变化．

成反比．

的平方成反比．

与的平方根成反比．

正确答案:

成反比．

解释：

圆柱体的体积可由其高度和底座半径计算，公式如下:

$\pi r^{2} h = V$

$t = \sqrt{r}$ ,所以 $t ^{2}= r$ ；

$v = \sqrt[4]{h}$ ,所以 $h = v^{4}$ ．

体积是1000，通过替换，用其他方程:

$\pi (t^{2})^{2} v^{4} = 1,000$

$\pi t^{4} v^{4} = 1,000$

$\frac{\pi t^{4} v^{4}}{\pi} = \frac{1,000}{\pi}$

$t^{4} v^{4} = \frac{1,000}{\pi}$

$\sqrt[4]{t^{4} v^{4} }= \sqrt[4]{\frac{1,000}{\pi}}$

$tv= \sqrt[4]{\frac{1,000}{\pi}}$

如果我们把 $K= \sqrt[4]{\frac{1,000}{\pi}}$ 作为变化的常数，我们得到

tv=K ，

这意味着成反比．

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