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SAT数学:和弦

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例子问题

问题1:和弦

一个圆的两个和弦， $\overline{AB}$ 而且 $\overline{CD}$ ，相交于一点． $\overline{CX}$ 是两倍长 $\overline{AX}$ ， BX = 20 , DX = 10 ．

给出的长度 $\overline{AX}$ ．

可能的答案:

$10 \sqrt{2}$

的长度给出的信息不足 $\overline{AX}$ ．

$10 \sqrt{3}$

$20\sqrt{2}$

正确答案:

的长度给出的信息不足 $\overline{AX}$ ．

解释：

让代表的长度 $\overline{AX}$ ；那么 $\overline{CX}$ 是这个的两倍还是．参考图如下:

如果两个弦在圆内相交，那么它们以这样一种方式相互切割使得两个弦的长度乘积相等，

$AX \cdot BX = CX \cdot DX$

代入适当的量，然后解出：

$t \cdot 20 = 2t \cdot 10$

20 t = 20t

这个说法是完全正确的。因此，在没有进一步信息的情况下，我们无法确定的值-长度 $\overline{AX}$ ．

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问题2:和弦

一个圆的两个和弦， $\overline{AB}$ 而且 $\overline{CD}$ ，相交于一点． $\overline{BX}$ 12个单位比 $\overline{AX}$ ， CX = 8 , DX = 10 ．

给出的长度 $\overline{AX}$ (如果适用，最接近十分之一)

可能的答案:

4.8

15.0

16.8

7.2

3.0

正确答案:

4.8

解释：

让代表的长度 $\overline{AX}$ ；那么 $\overline{BX}$ 是 t+12 ．参考图如下:

如果两个弦在圆内相交，那么它们以这样一种方式相互切割使得两个弦的长度乘积相等，

$AX \cdot BX = CX \cdot DX$

代入适当的量，然后解出：

$t \cdot (t+12) = 8 \cdot 10$

$t \cdot t+t \cdot 12 = 8 0$

$t ^{2}+12 t = 8 0$

这个二次方程可以通过补方来求解;的系数是12，平方可以通过相加来完成吗

$\left (\frac{12}{2} \right ) ^{2} = 6 ^{2} = 36$

双方:

$t ^{2}+12 t + 36 = 8 0+ 36$

重述三项式为二项式的平方:

$(t+6 )^{2 } = 116$

两边同时开方:

$t+6 = \pm \sqrt{116}$

$t+6 \approx - 10.8$ 或 $t+6 \approx 10.8$

要么

$t+6 \approx - 10.8$ ，

在这种情况下

$t+6 - 6 \approx - 10.8 - 6$

$t \approx -16.8$ ，

或

$t+6 \approx 10.8$

在这种情况下

$t+6 - 6 \approx 10.8 - 6$

$t \approx 4.8$ ，

自是一个长度，我们抛出负值;由此可见, $t \approx 4.8$ 的正确长度 $\overline{AX}$ ．

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问题3:和弦

一个直径 $\overline{AB}$ 垂直于弦的圆 $\overline{CD}$ 在一个点．

CD= 20, AX= 8

这个圆的直径是多少?

可能的答案:

回答这个问题所提供的信息不足。

$20\frac{1}{2}$

$33\frac{1}{3}$

正确答案:

$20\frac{1}{2}$

解释：

在圆中，垂直于弦的直径平分弦。这使得的中点 $\overline{CD}$ ；因此, $CX =DX = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ ．

参考图如下:

如果两个弦在圆内相交，那么它们以这样一种方式相互切割使得两个弦的长度乘积相等，

$AX \cdot BX = CX \cdot DX$

设置 AX= 8, CX =DX = 10 ，并解出：

$8 \cdot BX = 10 \cdot 10$

$8 \cdot BX = 100$

$8 \cdot BX \div 8 = 100 \div 8$

BX = 12.5

AB = AX + BX = 8 + 12.5 = 20.5 ，

正确的长度。

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问题4:和弦

一个圆的两个和弦， $\overline{AB}$ 而且 $\overline{CD}$ ，相交于一点．

CX = AX + 6

BX = 12

DX = 10

给出的长度 $\overline{AX}$ ．

可能的答案:

$2 \sqrt{30}$

$3 \sqrt{14}$

回答这个问题所提供的信息不足。

正确答案:

解释：

让 t = AX ，在这种情况下 CX = t+ 6 ；下图(不是按比例绘制的)。

如果两个弦在圆内相交，那么它们以这样一种方式相互切割使得两个弦的长度乘积相等，

$AX \cdot BX = CX \cdot DX$

设置 AX= t, CX= t+ 6, BX = 12, DX = 10 ，并解出：

$AX \cdot BX = CX \cdot DX$

$t \cdot 12 = (t+6) \cdot 10$

12t = 10t + 60

12t- 10t = 10t + 60 - 10t

2t = 60

$\frac{2t}{2} = \frac{60}{2}$

t = 30 ，

长度是多少 $\overline{AX}$ ．

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第243题:几何

一个直径 $\overline{AB}$ 垂直于弦的圆 $\overline{CD}$ 点． AX = 12 而且 BX = 20 ．给出的长度 $\overline{CD}$ (如果适用，最接近十分之一)。

可能的答案:

16.0

32.0

给出的信息不足以确定的长度 $\overline{CD}$ ．

31.0

15.5

正确答案:

31.0

解释：

垂直于弦的圆直径平分弦。因此，交点的中点是 $\overline{CD}$ ,

$CX = DX = \frac{1}{2} CD$ ．

让的共同长度 $\overline{CX}$ 而且 $\overline{DX}$ ，

图如下所示。

如果两个弦在圆内相交，那么它们以这样一种方式相互切割使得两个弦的长度乘积相等，

$CX \cdot DX = AX \cdot BX$

集 AX = 12 而且 BX = 20 , CX = DX = t ；代入并求解：

$t \cdot t = 12 \cdot 20$

$t^{2 } = 240$

$t = \sqrt{240} \approx 15.5$

这是 $\overline{CX}$ ；的长度 $\overline{CD}$ 是这个的两倍，所以

$CD = 2 \cdot t \approx 2 \cdot 15.5 = 31.0$

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问题6:和弦

sec

图不是按比例绘制的

在提供的图表中，长度的比率 $\overarc{BD}$ 的 $\overarc{AC}$ 是7比2。评估测量 $\angle BND$ ．

可能的答案:

不能确定的

$20^{\circ }$

$25^{\circ }$

$40^{\circ }$

$45^{\circ }$

正确答案:

不能确定的

解释：

两条割线从圆外的一点到圆所形成的角度的度量等于它们截距的两条弧之差的一半;也就是说,

$m \angle BND = \frac{1}{2} ( \overarc{BD} - \overarc{AC})$

度度量的比率 $\overarc{BD}$ 的 $\overarc{AC}$ 它们的长度是7比2。因此,

$\frac{m \overarc{BD} }{m \overarc{AC} } = \frac{7}{2}$

让 $t = m \overarc{AC}$ ：

$\frac{m \overarc{BD} }{t } = \frac{7}{2}$

$\frac{m \overarc{BD} }{t } \cdot t = \frac{7}{2} \cdot t$

$m \overarc{BD} = \frac{7}{2} t$

因此，在：

$m \angle BND = \frac{1}{2} \left ( \frac{7}{2} t - t \right ) = \frac{1}{2} \left ( \frac{5}{2} t \right ) =\frac{5}{4} t$

但是，在没有进一步信息的情况下，我们无法确定或 $m \angle BND$ ．因此，给定的信息是不够的。

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