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数学2:指数和对数

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例子问题

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例子问题1:指数和对数

解出：

$5^{x} = 432$

把答案精确到最近的百分之一。

可能的答案:

$x \approx 2.86$

$x \approx 3.77$

$x \approx 1.94$

$x \approx 2.44$

$x\approx 3.37$

正确答案:

$x \approx 3.77$

解释：

一种方法是两边取公对数，然后求解:

$5^{x} = 432$

$\log \left (5^{x} \right )= \log 432$

$x \log 5= \log 432$

$x = \frac{\log 432}{\log 5} \approx \frac{2.6355}{0.6990} \approx 3.77$

例子问题2:指数和对数

解出：

$\left (e+1 \right ) ^{k} = 100$

把你的答案写到最近的百分之一。

可能的答案:

$k \approx 1.43$

$k \approx 1.89$

$k \approx 3.61$

$k \approx 1.69$

$k \approx 3.51$ ＇

正确答案:

$k \approx 3.51$ ＇

解释：

两边取公对数，解出：

$\left (e+1 \right ) ^{k} = 100$

$\log \left (e+1 \right ) ^{k} = \log 100$

$k \log \left (e+1 \right ) = 2$

$k= \frac{2}{ \log \left (e+1 \right ) }$

$k= \frac{2}{ \log \left (2.7183+1 \right ) } \approx \frac{2}{ \log 3.7183 } \approx \frac{2}{1.3133} \approx 3.51$

例子问题3:指数和对数

解出：

$10^{t} + 1 = e$

把你的答案写到最近的百分之一。

可能的答案:

$t \approx -0.57$

这个方程没有解。

$t \approx 0.24$

$t \approx 0.42$

$t \approx 0.46$

正确答案:

$t \approx 0.24$

解释：

$10^{t} + 1 = e$

$10^{t} = e - 1$

两边取公对数，解出：

$\log 10^{t} = \log \left (e - 1 \right )$

$t = \log (e - 1) \approx \log (2.718-1) \approx \log 1.718 \approx 0.24$

问题4:指数和对数

解出：

$e^{x} = \pi$

把你的答案写到最近的百分之一。

可能的答案:

$x \approx 0.50$

$x \approx 1.14$

$x \approx 2.01$

这个方程没有解。

$x \approx 0.87$

正确答案:

$x \approx 1.14$

解释：

两边取自然对数，解出：

$e^{x} = \pi$

$\ln e^{x} = \ln \pi$

$x = \ln \pi \approx \ln 3.1416 \approx 1.14$

例5:指数和对数

求出最接近的百分位：

$2^{x+4} = 5^{x}$

可能的答案:

$x \approx 1.20$

$x \approx 6.32$

$x \approx -1.68$

$x \approx 4.48$

$x \approx 3.03$

正确答案:

$x \approx 3.03$

解释：

对两边取公对数，然后求解得到的线性方程。

$2^{x+4} = 5^{x}$

$\log 2^{x+4} = \log 5^{x}$

$(x + 4) \log 2 = x \log 5$

$x\log 2 + 4\log 2 = x \log 5$

$4\log 2 = x \log 5 - x\log 2$

$4\log 2 = x\left ( \log 5 - \log 2 \right )$

$x = \frac{4\log 2 }{ \log 5 - \log 2 }$

$x \approx \frac{4 \cdot 0.3010}{0.6990-0.3010} \approx 3.03$

例子问题6:指数和对数

求出最接近的百分位：

$2^{x+10}= 10^{x+2}$

可能的答案:

这个方程没有解。

$x \approx 3.85$

$x\approx 7.17$

$x \approx 1.45$

$x \approx 2.31$

正确答案:

$x \approx 1.45$

解释：

对两边取公对数，然后求解得到的线性方程。

$2^{x+10}= 10^{x+2}$

$\log 2^{x+10}= \log 10^{x+2}$

$\left (x+10 \right )\log 2 = x+2$

$x\log 2 +10 \log 2 = x+2$

$x\log 2 +10 \log 2 - 2 - x \log 2= x+2 - 2 - x \log 2$

$-2 +10 \log 2 = x - x \log 2$

$x \left (1 - \log 2 \right )= -2 +10 \log 2$

$x =\frac{ -2 +10 \log 2}{1 - \log 2 }$

$x \approx \frac{ -2 +10 \cdot 0.3010}{1 - 0.3010 } \approx 1.45$

示例问题7:指数和对数

解出：

$100 ^{x}= 66$

可能的答案:

$x = \frac{ \log 66}{2}$

$x = 2- \log 66$

$x = \log 64$

$x = \frac{2}{\log 66}$

$x = \log 33$

正确答案:

$x = \frac{ \log 66}{2}$

解释：

两边取公对数:

$100 ^{x}= 66$

$\log 100 ^{x}= \log 66$

$x \log 100 = \log 66$

$x \cdot 2 = \log 66$

$x = \frac{ \log 66}{2}$

例8:指数和对数

解出：

$3 + \log 4 + \log 6 = \log N$

可能的答案:

N = 13,824

N = 24,000

N = 1,000

N = 72

N = 10,000

正确答案:

N = 24,000

解释：

公对数的底是10，所以

$3 = \log 10^{3} = \log 1,000$

三个对数的和是三次幂乘积的对数，所以:

$3 + \log 4 + \log 6$

$=\log 1,000 + \log 4 + \log 6$

$= \log (1,000 \times 4 \times 6) = \log 24,000$

因此, N = 24,000

问题9:指数和对数

求出最接近的百分位：

$5^{N} = 10^{4-N}$

可能的答案:

$N \approx 1.53$

$N \approx 1.30$

$N \approx 2.35$

$N \approx 13.29$

$N \approx 0.37$

正确答案:

$N \approx 2.35$

解释：

$5^{N} = 10^{4-N}$

$\log 5^{N} = \log 10^{4-N}$

$N \log 5 = 4 - N$

$N \log 5 + N = 4$

$N \left (1+ \log 5 \right ) = 4$

$N = \frac{4}{1+ \log 5 } \approx \frac{4}{1+ 0.6990 } \approx 2.35$

例子问题1:指数和对数

解出：

$\log 20 - 2 + \log 6 = \log N$

可能的答案:

$N = 1 \frac{1}{5}$

这个方程没有解

$N = \frac{60}{e}$

N = 60

$N = \frac{120}{e^{2}}$

正确答案:

$N = 1 \frac{1}{5}$

解释：

公对数的底是10，所以

$2 = \log 10^{2} = \log 1 00$

对数的和是三次幂乘积的对数，对数的差是三次幂的商的对数。因此,

$\log 20 - 2 + \log 6$

$= \log 20 - \log 100 + \log 6$

$= \log \frac{20 \times 6 }{100} = \log \frac{120 }{100} =\log \frac{6}{5}$

$N = \frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5}$

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