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SAT II数学II:圆，椭圆和双曲线

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例子问题

问题1:圆，椭圆和双曲线

参照上图。这个圆的圆心在原点。圆的方程是什么?

可能的答案:

$\frac{x^{2}}{36}- \frac{y^{2} }{64}= 1$

$\frac{y^{2} }{64 } - \frac{x^{2}}{36} = 1$

$x^{2}+ y^{2} = 1 0$

$x^{2}+ y^{2} = 100$

$\frac{x^{2}}{36}+ \frac{y^{2} }{64}= 1$

正确答案:

$x^{2}+ y^{2} = 100$

解释：

圆心圆的方程 (h, k) 和半径是

$(x-h)^{2}+ \left ( y - k\right )^{2} = r^{2}$

中心在原点，或者 (0,0) ,所以 h = k = 0 ．找到 $r^{2}$ ，使用距离公式如下:

$r^{2} = \left ( 6-0\right )^{2} +\left ( 8 -0 \right )^{2} = 6^{2}+8^{2} = 36 + 64 = 100$

注意，我们实际上不需要查找．

我们现在可以写出圆的方程:

$(x-0)^{2}+ \left ( y - 0\right )^{2} = 100$

$x^{2}+y^{2} = 100$

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问题2:圆，椭圆和双曲线

参考上图。圆的圆心在原点;是点 (-9, -12) ．弧的长度是多少 $\widehat{AB}$ 到十分之一?

可能的答案:

18.8

56.8

33.2

37.5

16.6

正确答案:

33.2

解释：

首先，要确定圆的半径。这是它们之间的距离 (0,0) 而且 (-9, -12) ，所以我们应用距离公式:

$r = \sqrt{(x_{2} - x _{1})^{2}+(y_{2} - y_{1})^{2}}$

$r = \sqrt{\left ( -9-0\right )^{2} +\left ( -12 -0 \right )^{2} }$

$r=\sqrt{ (-9)^{2}+(-12)^{2}}$

$r= \sqrt{81+144 }= \sqrt{225} = 15$

这个圆的周长是

$C = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 15 = 30 \pi$

现在我们需要求出弧度。我们可以通过查看这张图来做到最好:

的程度度量 $\widehat{AB}$ 也是衡量标准 $\theta$ 绿色半径形成的圆心角。这是使用关系发现的

$\tan \theta = \frac{y}{x}$

$\tan \theta = \frac{-12}{-9} \approx 1.333$

用计算器算一下 $\tan ^{-1} 1.3333 \approx 53.12^{\circ }$ ．我们可以根据位置进行调整：

$\theta \approx \left (180 - 53.12 \right )^{\circ } \approx 126.87^{\circ }$

也就是弧的角度。

现在我们可以计算弧的长度:

$L \approx \frac{126.87}{360} \cdot C$

$L \approx \frac{126.87}{360} \cdot 30 \pi \approx 33.2$

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问题1:圆，椭圆和双曲线

在坐标平面上，正方形的顶点在具有坐标的点上 (7, 0), (0, 7), (-7, 0) , (0, -7) ．给出圆的方程。

可能的答案:

$(x- 7) ^{2}+ (y- 7) ^{2}= \frac{7}{2}$

$x^{2}+ y^{2}= \frac{7}{2}$

$(x- 7) ^{2}+ (y- 7) ^{2}= \frac{49}{4}$

$x^{2}+ y^{2}= \frac{49}{4}$

$x^{2}+ y^{2}= \frac{49}{2}$

正确答案:

$x^{2}+ y^{2}= \frac{49}{2}$

解释：

所讨论的数字如下。

内接圆1

圆心可以看作是原点，所以，如果半径是，方程将是

$x^{2}+ y^{2} = r^{2}$ ．

这个圆穿过两边的中点，所以我们会找到其中一个中点。中点 $(x_{m}, y_{m})$ 有端点的线段 (7,0) 而且 (0, 7) 可以通过使用中点方程找到，设置 $x_{1} = y_{2}= 7, x_{2} = y_{1}= 0$ ：

$x_{m} = \frac{x_{1}+x_{2}}{2} = \frac{7+0}{2} = \frac{7}{2}$

$y_{m} = \frac{y_{1}+y_{2}}{2} = \frac{0+7 }{2} = \frac{7}{2}$

这个圆圈穿过这个中点 $\left ( \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right )$ ．从这一点到原点的段 (0,0) 一个半径，它的长度等于什么．由于我们只需要半径的平方，使用下面的距离公式形式:

$r ^{2} = (x_{2}-x_{1}) ^{2} + (y_{2}-y_{1}) ^{2}$ ，

集 $x_{1} = y_{1} = 0, x_{2}= y_{2}= \frac{7}{2}$ ：

$r ^{2} =\left (\frac{7}{2}-0\right ) ^{2}+\left (\frac{7}{2}-0\right ) ^{2}$

$=\left (\frac{7}{2} \right ) ^{2}+\left (\frac{7}{2}\right ) ^{2}$

$= \frac{49}{4} + \frac{49}{4}$

$= \frac{49}{2}$

代入圆方程 $r ^{2}$ ，我们得到正确的响应，

$x^{2}+ y^{2}= \frac{49}{2}$

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问题1:几何坐标

用这个方程求圆的直径 x^2-10x+y^2+2y+10=0 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先把这个方程写成标准形式通过平方。回想一下圆方程的标准形式:

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 ，即圆心所在的位置 (a,b) 半径是．

x^2-10x+25+y^2+2y+1+10=25+1

(x-5)^2+(y+1)^2+10=26

(x-5)^2+(y+1)^2=16

从方程中，我们知道 r^2=16 ．

$r=\sqrt{16}=4$

因为半径是，将其长度翻倍，求出直径的长度。直径的长度为．

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问题1:几何坐标

三角形的顶点在具有坐标的点上 (0,0) ， (4, 4) , (7, 0 ) ．给出它的外圆的方程。

可能的答案:

$x^{2}+y^{2}-7x-15 y=0$

$x^{2}+ y^{2}+7x -15y = 0$

$x^{2}+y^{2}+7x-y=0$

$x^{2}+y^{2}-7x-y=0$

这些

正确答案:

$x^{2}+y^{2}-7x-y=0$

解释：

三角形的外接圆是经过三角形所有三个顶点的圆。

一般情况下，圆的方程是

$x^{2}+ y^{2}+ Ax + By + C = 0$ ．

因为圆经过原点，代入 x = 0, y = 0 ；方程变得

$0^{2}+0^{2}+ A \cdot 0 + B \cdot 0 + C = 0$

0+0+0+0 + C = 0

C= 0

因此，我们知道任何经过原点的圆的方程都是这样的形式

$x^{2}+ y^{2}+ Ax + By = 0$

对于一些 A , B ．

因为圆圈穿过 (7,0) ,替代 x = 7, y = 0 ；方程变得

$7^{2}+ 0^{2}+ A \cdot 7 + B \cdot 0 = 0$

49+7A= 0

解：

7A = -49

A = -7

现在我们知道了方程的形式

$x^{2}+ y^{2}-7x + By = 0$

对于一些．

因为圆圈穿过 (4, 4) ,替代 x = 7, y = 0 ；方程变得

$4^{2}+ 4^{2}- 7 \cdot 4 + B \cdot 4 = 0$

16+16- 28 + 4B = 0

4 + 4B = 0

解：

4B = -4

B = -1

因此，圆方程的一般形式是

$x^{2}+ y^{2}-7x -y = 0$

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