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SAT II数学I:序列

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例子问题

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例子问题1:序列

数列的前两个数字依次为1和4。每个连续的元素都是由前两个元素相加而成。这个序列的前六个元素的和是多少?

可能的答案:

正确答案:

解释：

前六个要素如下:

$a_{1} = 1 \;$

$a_{2}= 4$

$a_{3} = 1 + 4 = 5$

$a_{4} = 4 + 5 = 9$

$a_{5} = 5+ 9 = 14$

$a_{6} = 9 + 14 = 23$

添加:

1 + 4 + 5 + 9 + 14 + 23 = 56

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例子问题1:序列

几何数列的第一项和第三项分别是3和108。第六项是什么?

可能的答案:

23,328

所提供的信息不足以回答这个问题。

$265\frac{1}{2}$

$-265\frac{1}{2}$

-23,328

正确答案:

所提供的信息不足以回答这个问题。

解释：

令数列的公比为．那么数列的前三项是 $3,3r,3r^{2}$ ．第三项是108，所以

$3r^{2} =108$

$r^{2} = 36$

r = 6 或 r = -6 ．

公共比率可以是其中一种——我们没有足够的信息来确定是哪一种。

第六项是

$a_{1}r^{6-1} = 3r^{5}$

如果 r = 6 ，第七项为 $3 \cdot 6^{5}= 3 \cdot 7,776 = 23,328$ ．

如果 r =- 6 ，第七项为 $3 \cdot \left (-6 \right )^{5}= 3 \cdot \left (-7,776 \right )= -23,328$ ．

因此，没有足够的信息来确定序列的第六项。

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例子问题1:序列

几何数列的第一项和第三项分别为2和50。第七项是什么?

可能的答案:

所提供的信息不足以回答这个问题。

-31,250

31,250

146

正确答案:

31,250

解释：

令数列的公比为．那么数列的前三项是 $2,2r,2r^{2}$ ．第三项是50，所以

$2r^{2} = 50$

$r^{2} = 25$

r = 5 或 r = -5 ．

没有足够的信息来选择哪一个是公比。但是第七项是

$a_{1}r^{7-1} = 2r^{6}$

如果 r = 5 ，第七项为 $2 \cdot 5^{6}= 2 \cdot 15,625 = 31,250$ ．

如果 r = - 5 ，第七项为 $2 \cdot\left ( -5 \right )^{6}= 2 \cdot 15,625 = 31,250$ ．

不管怎样，第七项是31250。

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例子问题1:序列

3个奇数连续数的和是345。数列中最大的数是多少?

可能的答案:

121

103

117

119

正确答案:

117

解释：

在处理算术平均数时，最好将数列中的一个数定义为x，而将其他每一个数定义为x。

因为我们要找出三个数中最大的，我们把x定义为方程中最大的数。因为每个数都是连续的奇数，所以必须减去2才能得到数列中的下一个数。

X:数列中最大的数

X-2:中间数按顺序排列

X-4:数列中最小的数

现在，我们来做一个方程求数列中所有数的和并设它等于354。

$\small x+(x-2)+(x-4)=345$

$\small 3x-6+6=345+6$

$\small \frac{3x}{3}=\frac{351}{3}$

$\small x=117$

117是数列中最大的数。

要检查自己，你可以把{113,115,117}序列中的数字相加。

$\small 113+115+117=345$

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例子问题2:序列

2, 6, 3, 9, 4.5, ?

数列的下一个数是什么?

可能的答案:

13.5

2.25

正确答案:

13.5

解释：

第一个数乘以3

$\left ( 2*3=6 \right )$ ．

然后除以2

$\left (6/2=3 \right )$ ．

下面的式子乘以三

$\left ( 3*3=9\right )$

然后除以2

$\left ( 9/2=4.5\right )$ ．

这就使下一步乘以3得到

4.5*3=13.5 ．

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例子问题1:序列

等差数列的开头如下:

$0.3, \frac{1}{3} ,...$

给出这个数列的第十项。

可能的答案:

$\frac{19}{30}$

$\frac{11}{15}$

$\frac{7}{10}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{2}{3}$

正确答案:

$\frac{3}{5}$

解释：

将第一项改写为分数形式: $0.3 = \frac{3}{10}$ ．

序列现在开始

$\frac{3}{10}, \frac{1}{3}$ ,……

用它们的最小公分母重写这些项，也就是 LCM (3, 10) = 30 ：

$\frac{3}{10} = \frac{9}{30}$

$\frac{1}{3} = \frac{10}{30}$

常见的区别是第二项和第一项的差，也就是

$d = \frac{10}{30} - \frac{9}{30} = \frac{1}{30}$ ．

期限规则 $a_{n}$ 等差数列的，给定第一项 $a _{1}$ 和普通的区别,是

$a_{n} = a_{1} + (n-1)d$ ；

设置 $a_{1}= \frac{3}{10}$ ， n = 10 , $d = \frac{1}{30}$ ，我们可以找到第十项 $a_{10}$ 通过计算表达式:

$a_{10} = \frac{3}{10} + (10-1) \frac{1}{30 }$

$= \frac{3}{10} + 9 \cdot \frac{1}{30 }$

$= \frac{3}{10} + \frac{9}{30 }$

$= \frac{9}{30} + \frac{9}{30 }$

$= \frac{18}{30 }$

$= \frac{3}{5}$ ，

正确的响应。

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例子问题1:序列

一个几何序列的开头如下:

$\sqrt{20} , \sqrt{180},...$

把数列的下一项用最简的根式表示。

可能的答案:

$17 \sqrt{5}$

$18 \sqrt{5}$

$10 \sqrt{5}$

正确答案:

$18 \sqrt{5}$

解释：

利用自由基积原理，我们可以将序列的前两项简化为:

$a_{1}=\sqrt{20} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$

$a_{2}= \sqrt{180} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$

常见的比率为数列第二项与第一项之商:

$r = \frac{a_{2}}{a_{1}}= \frac{6 \sqrt{5}}{2\sqrt{5} } = 3$

第二项乘以公比得到第三项:

$a_{3} = r a_{2} = 3 \cdot 6 \sqrt{5} = 18 \sqrt{5}$

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例子问题2:序列

几何数列的第二项和第三项为 3 i 而且,分别。给出第一项。

可能的答案:

$\frac{3}{2}$

$-\frac{3}{2}$

正确答案:

$-\frac{3}{2}$

解释：

常见的比率为数列第三项与第二项之商:

$r =\frac{a_{3} }{a_{2}} = \frac{-6}{3i} = \frac{-2}{i}$

分子分母同时乘以,这就变成了

$r = \frac{-2}{i} = \frac{-2(-i)}{i (-i)} = \frac{-2i}{ -i^{2}} = \frac{-2i}{ -(-1 )} = \frac{-2i}{1} = -2i$

数列的第二项等于第一项乘以公比:

$r \cdot a_{1} = a_{2}$ ．

所以相当于:

$a_{1} =\frac{ a_{2}}{r}$

替换:

$a_{1} =\frac{ 3i}{-2i} = -\frac{3}{2}$ ，

正确的响应。

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问题101:Sat数学科目考试I

一个几何序列的开头如下:

4 i , 1 ,...

给出这个数列的下一项。

可能的答案:

$\frac{1}{4} i$

$-\frac{1}{4} i$

其他选项都不能给出正确的答案。

$\frac{1}{4}$

$-\frac{1}{4}$

正确答案:

$-\frac{1}{4} i$

解释：

常见的比率为数列第二项与第一项之商:

$r = \frac{a_{2}}{a_{1}}= \frac{1}{4i}$

把公比化简分子分母同时乘以：

$r = \frac{1}{4i} = \frac{1 \cdot i}{4i \cdot i } = \frac{i}{4 i^{2}} = \frac{i}{4 (-1)} = \frac{i}{-4 } = -\frac{1}{4} i$

第二项乘以公比得到第三项:

$a_{3} = r a_{2} = -\frac{1}{4} i \cdot 1 = -\frac{1}{4} i$

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例子问题1:序列

几何数列有第一项和第三项分别和24。下面哪个选项可能是它的第二项?

可能的答案:

这些

$-18 \sqrt{2}$

$-12 \sqrt{2}$

$-18 i \sqrt{2}$

$-12 i \sqrt{2}$

正确答案:

$-12 i \sqrt{2}$

解释：

让为几何数列的公比。然后

$a_{2} = r a_{1}$

而且

$a_{3} = r a_{2}= r \cdot r a_{1} = r ^{2}a_{1}$

因此,

$r ^{2} = \frac{a_{3}}{a_{1}}$ ，

而且

$r = \pm \sqrt{ \frac{a_{3}}{a_{1}}}$

设置 $a_{1}= -12, a_{3} = 24$ ：

$r = \pm \sqrt{ \frac{24}{-12} } = \pm\sqrt{-2} = \pm \sqrt{-1} \cdot \sqrt{2} = \pm i \sqrt{2}$ ．

代替而且 $a_{1}$ ,要么

$a_{2} = r a_{1} = \pm i \sqrt{2} \cdot (-12) = \mp 12 i \sqrt{2}$ ．

第二项可以是任何一项 $-12 i \sqrt{2}$ 或 $12 i \sqrt{2}$ 前者是一种选择。

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