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SAT数学1:无理数

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例子问题

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问题6:无理数

下面哪个不是无理数?

可能的答案:

$\sqrt[2]{125}$

$\sqrt[4]{125}$

$\sqrt[5]{125}$

$\sqrt[6]{125}$

$\sqrt[3]{125}$

正确答案:

$\sqrt[3]{125}$

解释：

整数的根是两种情况之一，整数或无理数。只需要在计算器上测试一下 $\sqrt[3]{125}$ 得到一个精确的整数- 5。这是正确的选择。

问题5:数论

通过使分母合理化来简化:

$\frac{45}{5 + \sqrt{7}}$

可能的答案:

$\frac{ 25 + 5 \sqrt{7} }{ 2}$

$\frac{ 25 + \sqrt{7} }{ 2}$

$\frac{ 25 - 5 \sqrt{7} }{ 2}$

$\frac{ 25 - \sqrt{7} }{ 2}$

$\frac{15 \sqrt{7}}{4}$

正确答案:

$\frac{ 25 - 5 \sqrt{7} }{ 2}$

解释：

分子分母同时乘以分母的共轭，也就是 $5 - \sqrt{7}$ 。然后利用分配律和平方模式的差异:

$\frac{45}{5 + \sqrt{7}}$

$= \frac{45\left (5 - \sqrt{7} \right )}{\left (5 + \sqrt{7} \right )\left (5 - \sqrt{7} \right )}$

$= \frac{45\left (5 - \sqrt{7} \right )}{ 5 ^{2}- \left ( \sqrt{7} \right ) ^{2} }$

$= \frac{45\left (5 - \sqrt{7} \right )}{ 25 -7}$

$= \frac{45\left (5 - \sqrt{7} \right )}{ 18}$

$= \frac{5\left (5 - \sqrt{7} \right )}{ 2}$

$= \frac{ 25 - 5 \sqrt{7} }{ 2}$

问题1:复虚数

$\frac{-5+10i}{3+4i}=?$

可能的答案:

-1+2i

$-\frac{5}{3}+\frac{5}{2}i$

$-\frac{5}{3}-\frac{5}{2}i$

1+2i

1-2i

正确答案:

1+2i

解释：

$\frac{-5+10i}{3+4i}$

$=\frac{(-5+10i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}$

$=\frac{-15+20i+30i-40i^{2}}{9-16i^{2}}$

$=\frac{-15+50i+40}{9+16}$

$=\frac{25+50i}{25}$

=1+2i

问题2:复虚数

繁殖:

(7 + 3i) (1 - 2i)

可能的答案:

13 - 17i

1 - 11i

7 - 5i

13 - 11i

7 - 17i

正确答案:

13 - 11i

解释：

使用FOIL技巧:

(7 + 3i) (1 - 2i)

$= 7 \cdot 1 - 7 \cdot 2i + 3i \cdot 1 - 3i \cdot 2i$

$= 7 - 14i + 3i - 6i ^{2}$

= 7 - 14i + 3i - 6(-1)

= 7 - 14i + 3i +6

= 13 - 11i

问题6:数论

评估:

$\left (2 + 3i \right )^{3}$

可能的答案:

-62 + 63 i

-4 6+ 9i

-46 + 63 i

8 + 9i

8 - 27i

正确答案:

-4 6+ 9i

解释：

我们可以设置 A = 2, B = 3i 在二项模式的立方体中:

$\left ( A + B\right ) ^{3} = A ^{3} + 3 A^{2 }B + 3AB^{2} + B^{3}$

$= 2 ^{3} + 3 \cdot 2 ^{2 } \cdot 3i + 3 \cdot 2 \cdot (3i)^{2} + (3i)^{3}$

$= 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} \cdot 3i + 3 \cdot 2 \cdot 3 ^{2}\cdot i^{2} + 3^{3} \cdot i^{3}$

$= 8 + 36i + 54 i^{2} + 27 i^{3}$

= 8 + 36i + 54 (-1) + 27 (-i)

= 8 + 36i - 54 - 27 i

= -46 + 9i

问题1:复杂的轭合物

评估 $\small \frac{-6+2i}{10-3i}$

可能的答案:

你不能除以复数

$\small \small \frac{-54+38i}{91-60i}$

$\small \frac{-54+38i}{109}$

$\small \frac{-66+2i}{109}$

$\small \small \frac{-66+2i}{91-60i}$

正确答案:

$\small \frac{-66+2i}{109}$

解释：

要除以一个复数，我们必须将表达式变换为乘以分母的共轭复数除以它本身。在这个问题中， $\small 10-3i$ 是我们的分母，所以我们将表达式乘以 $\small \frac{10+3i}{10+3i}$ 获得:

$\small \frac{-6+2i}{10-3i}\frac{10+3i}{10+3i}=\frac{-60+20i-18i+6i^2}{100-30i+30i-9i^2}$ 。

然后我们可以把类似的项组合起来重写 $\small i^2$ 任 $\small -1$ 。因此，表达式变成:

$\small \frac{-60+2i+6i^2}{100-9i^2}=\frac{-66+2i}{109}$

我们的最终答案是 $\small \frac{-66+2i}{109}$

问题3:复虚数

简化下面的乘积:

{} (5+3i)(-2+i)

可能的答案:

{} -13-i

{}-7-i

{} -13+11i

{} -10+3i

正确答案:

{} -13-i

解释：

用典型的方法把这些复数相乘:

${}(5+3i)(-2+i) = -10+5i-6i+3i^2$

回想一下 i^2=-1 通过定义。然后，我们得到类似分组的项

{} (-10-3)+(5i-6i) = -13-i

这就是我们的最终答案。

问题4:复虚数

求实部 1-3i

可能的答案:

以上都不是。

正确答案:

解释：

复数的标准形式为: a+bi ,在那里表示实部和表示虚部。符号代表 $\sqrt{-1}$ 。

这个问题的实部是1。

问题5:复虚数

简化:

(4-6i)+(7+2i)

可能的答案:

11-4i

3-4i

-3+4i

5+2i

正确答案:

11-4i

解释：

复数相加，先求实数项的和，再求虚数项的和。

(4-6i)+(7+2i)=(4+7)+(-6+2)i=11-4i

问题1:虚数和复数函数

简化:

(5+8i)(6-2i)

可能的答案:

16+32i

7+16i

46+38i

25+8i

正确答案:

46+38i

解释：

从使用FOIL开始。意思是把第一项相乘然后是外面的项再乘以里面的项最后是最后一项。

(5+8i)(6-2i)=30-10i+48i-16i^2

记住, $i=\sqrt-1$ ,所以 i^2=-1 。

代入为 i^2

30-10i+48i-16i^2=30+38i-16(-1)=30+38i+16=46+38i

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