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数学I:函数与图的性质

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例子问题

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例子问题1:函数和图

定义 $f (x) = \sqrt{25-x^{2}}$ ．

给出的范围．

可能的答案:

[0, 5]

[0, 25]

$(-\infty, 5]$

[-25,25]

[-5,5]

正确答案:

[0, 5]

解释：

平方根符号中的根号必须是非负的，所以

$25 - x^{2} \geq 0$

$25 \geq x^{2}$

$x^{2} \leq 25$

当且仅当 $-5 \leq x \leq 5$ 的定义域是 [-5,5] ．

$f (x) = \sqrt{25-x^{2}}$ 假定其最大值时 $25-x^{2}$ ，即开点 [-5,5] 在哪里 $x^{2}$ 这是在 x = 0 ．

$f (0) = \sqrt{25-0^{2}} = \sqrt{25} = 5$

同样的, $f (x) = \sqrt{25-x^{2}}$ 假设它的最小值时 $25-x^{2}$ ，即开点 [-5,5] 在哪里 $x^{2}$ 这是在 $x = \pm 5$ ．

$f (5) = \sqrt{25-5^{2}} = \sqrt{0} = 0$

$f (-5) = \sqrt{25-\left (-5 \right )^{2}} = \sqrt{0} = 0$

因此，的范围是 [0, 5] ．

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例子问题2:函数和图

定义 $f (x) = \sqrt{16-x^{2}}$ ．

给出定义域．

可能的答案:

$[-4, \infty)$

$(-\infty, \infty)$

$(-\infty, 4]$

[-4,4]

[0, 4]

正确答案:

[-4,4]

解释：

平方根符号中的根号必须是非负的，所以

$16 - x^{2} \geq 0$

$16 \geq x^{2}$

$x^{2} \leq 16$

当且仅当 $-4 \leq x \leq 4$ 的定义域是 [-4,4] ．

报告错误

例子问题3:函数和图

定义函数而且在实数集合上，如下所示:

$f (x) = \sqrt{x- 4}$

$g(x) = x^{2} + 8$

给出复合函数的自然定义域 $f \circ g$ ．

可能的答案:

$\left [ 2\sqrt{2} , \infty \right )$

$\left [ 2, \infty \right )$

$\left [-2\sqrt{2} , \infty \right )$

所有实数的集合

$\left [-2, \infty \right )$

正确答案:

所有实数的集合

解释：

复合函数的自然定义域 $f \circ g$ 定义为两个集合的交点。

一个集合是的自然定义域．自是一个多项式，它的定义域是所有实数的集合。

另一个集合是所有值的集合这样 g(x) 在的范围内．因为根号下必须是非负的，

$x- 4 \geq 0$ , $x \geq 4$ 的定义域

因此，另一个集合是所有的集合这样

$g(x) \geq 4$

替代:

$x^{2}+8 \geq 4$

$x^{2} \geq -4$

这对所有实数都成立，所以这个集合也是所有实数的集合。

自然领域 $f \circ g$ 是所有实数的集合。

报告错误

例子问题1:领域和范围

f(x) 是正弦曲线。这个函数的定义域和值域是什么?

可能的答案:

域:全部实数

范围: -1 < f(x) < 1

域:全部实数

范围: $-1\leq f(x)\leq1$

正确答案:

域:全部实数

范围: $-1\leq f(x)\leq1$

解释：

定义域包括进入函数的值(x值)，范围是出来的值(x值) f(x) 或y的值)。正弦曲线代表一个以规则频率重复的波。根据这张图，最大值 f(x) 等于1，而最小值等于-1。x值跨度为所有实数，因为正弦函数的输入没有限制。函数的定义域都是实数，值域是 $-1\leq f(x)\leq1$ ．

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例子问题2:领域和范围

下列哪个不是函数?

可能的答案:

$y = -\sqrt{x^{2}-16}$

$y = \sqrt{x-9} +3$

$x=\left | y\right |$

6x - 3y = 11

$y = x^{3} -x +5$

正确答案:

$x=\left | y\right |$

解释：

函数必须通过垂直线测试，这意味着垂直线只能穿过函数一次。换句话说，对于任何给定的值的值只能有一个．对于函数 $x=\left | y\right |$ ，有一个两个可能的值值。例如，如果 y = 2 ,然后 x = 2 ．但是,如果 y = -2 ， x = 2 也这个函数不能通过垂直线测试。其他列出的函数是一行， 6x - 3y = 11 ，向右抛物线的上半部分， $y = \sqrt{x-9} +3$ ，三次方程， $y = x^{3} -x +5$ ，一个半圆， $y = -\sqrt{x^{2}-16}$ ．这些都能通过垂直线测试。

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例子问题1:领域和范围

给出函数的定义域。

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

可能的答案:

$\mathbb{R}$

$\left \{x| -1<x<1 \right \}$

$\left \{ x | x\neq 1\right \}$

$\left \{ x | x< -1\; or \; x> 1\right \}$

$\left \{ x | x\neq -1\right \}$

正确答案:

$\mathbb{R}$

解释：

对象的可能值的集合变量。我们可以找到不可能的值通过设置分数函数的分母等于零，因为这将产生一个不可能的方程。

$\sqrt{x^2+1}=0$

现在我们可以解出．

x^2+1=0

x^2=-1

没有真正的价值这符合这个方程;任何实值的平方都是正数。

自由基总是正的，而且 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ 的所有实值都有定义．这使得定义域为所有实数的集合。

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问题4:领域和范围

查找域:

$\frac{3x-2}{x^{2}-2x+1}$

可能的答案:

$(-\infty, \infty )$

$(-\infty, -1 )\bigcup (1, \infty )$

$(-\infty, 1 )\bigcap (1, \infty )$

$(-\infty, 1 )\bigcup (1, \infty )$

$(-\infty, -1 )\bigcap (1, \infty )$

正确答案:

$(-\infty, 1 )\bigcup (1, \infty )$

解释：

要找到定义域，请找到数轴上定义分数的所有区域。

$x^2-2x+1\neq0$ 因为分数的分母必须是非零的。

找到两个和为-2的数，然后乘以1。这两个数是-1和-1。

$(x-1)(x-1)\neq0$

$x\neq 1$

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例子问题6:领域和范围

如果 y > 0 的哪个值不在这个方程的范围内?

$y = x^2 + \frac{7}{x}$

可能的答案:

$- \sqrt{7}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

使用作为输入()的值生成输出()与所述条件相矛盾的值 y > 0 ．

因此不是的有效值而且不在方程的范围内:

$y = (-1)^2 + \frac{7}{(-1)} \rightarrow y = 1 - 7 \rightarrow y= -6$

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示例问题7:领域和范围

函数的值域是什么?

f(x) = x^2 + 5

可能的答案:

$(-\infty, 5)$

$(0,\infty)$

$[5, \infty)$

$(-\infty, \infty)$

$(5, \infty )$

正确答案:

$[5, \infty)$

解释：

这个函数是一条向上移动了5个单位的抛物线。标准抛物线的范围从0(含)到正无穷。如果顶点上移了5，这意味着它的最小值上移了5。第一项是包容，这意味着你需要一个“[”作为开头。

最小值:包含5，最大值:无穷大

范围: $[5, \infty)$

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例8:领域和范围

函数的定义域是什么?

$f(x) = \sqrt{x} + x^2 -3x$

可能的答案:

$(0,\infty)$

$[0,\infty)$

$[-3, \infty)$

$(-\infty, \infty)$

[0,100]

正确答案:

$[0,\infty)$

解释：

域表示可接受的这个函数的值。根据函数的成员，唯一的限制是不允许负数(因为是平方根)。平方项和线性项适用于任何数字。不能有任何负数，否则平方根就不是实数。

最小值:包含0，最大值:无穷大

域: $[0,\infty)$

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