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PSAT数学:四面体

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例子问题

问题252:Psat数学

Tetra_1

参考以上四面体,或者四面实心。四面体的表面积是444。评估到最接近的十分之一。

可能的答案:

$s \approx 17.8$

$s \approx 16.0$

$s \approx 256.3$

$s \approx 314.0$

$s \approx 21.1$

正确答案:

$s \approx 16.0$

解释：

这个四面体有四个面，每个面都是一个等边三角形．由于总表面积是444，每个三角形的面积是这个的四分之一，即111。找到,设置 A = 111 等边三角形面积的计算公式:

$\frac{s^{2} \sqrt{3} }{4} =A$

$\frac{s^{2} \sqrt{3} }{4} =111$

$s^{2} \sqrt{3} =444$

$s^{2}=\frac{444}{ \sqrt{3} } \approx \frac{444}{ 1.732 } \approx 256.34$

$s\approx \sqrt{256.34} \approx 16.0$

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问题253:Psat数学

Tetra_2

注:图非按比例绘制。

上面的三角形金字塔的体积为25。到最近的十分之一，计算．

可能的答案:

$h \approx 8.8$

$h \approx 13.3$

没有提供足够的信息来回答这个问题。

$h \approx 10.8$

$h \approx 7.2$

正确答案:

$h \approx 10.8$

解释：

我们在求金字塔的高度。

底为边长为4的等边三角形，故其面积可计算为:

$B = \frac{s^{2} \sqrt{3} }{4}$

$B = \frac{4^{2} \sqrt{3} }{4}$

$B = \frac{16 \sqrt{3} }{4}$

$B = 4\sqrt{3}$

高度可以用公式计算金字塔的高度

$V = \frac{1}{3}Bh$

我们设置 V = 25 而且 $B = 4\sqrt{3}$ 解出：

$\frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot h = 25$

$h = \frac{25 \cdot 3}{4 \sqrt{3}} = \frac{75}{4 \sqrt{3}} \approx \frac{75}{4 \cdot 1.7321} \approx 10.8$

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问题254:Psat数学

Tetra_1

注:图非按比例绘制。

给出上面三角形金字塔的体积(最接近的十分之一)。

可能的答案:

22.6

55.4

15.1

18.5

27.7

正确答案:

18.5

解释：

金字塔的高度是 h = 8 ．底为边长为4的等边三角形，故其面积可计算为:

$B = \frac{s^{2} \sqrt{3} }{4}$

$B = \frac{4^{2} \sqrt{3} }{4}$

$B = \frac{16 \sqrt{3} }{4}$

$B = 4\sqrt{3}$

金字塔的体积可以用这个公式来计算

$V = \frac{1}{3}Bh$

$V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 = \frac{32\sqrt{3} }{3} \approx \frac{32 \cdot 1.7321}{3} \approx 18.5$

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问题255:Psat数学

正四面体的边长为．它的体积是多少?

可能的答案:

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$

$\frac{32}{\sqrt{2}}$

$\frac{64}{3\sqrt{2}}$

$\frac{32}{3}$

正确答案:

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$

解释：

四面体的体积由这个方程求出来 $V=\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ ,在那里表示四面体的一条边的长度。

边长代入4，并尽可能减少，得到答案:

$V=\frac{4^3}{6\sqrt{2}}$

$V=\frac{64}{6\sqrt{2}}$

$V=\frac{32}{3\sqrt{2}}$

四面体的体积是 $\frac{32}{3\sqrt{2}}$ ．

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问题256:Psat数学

一个正四面体有四个相等的面，每个面都是等边三角形。

一个给定的四面体边长为6英寸。求出四面体的总表面积。

可能的答案:

$36 \sqrt{2}\textrm{ in}^{2}$

$9 \sqrt{3}\textrm{ in}^{2}$

$9 \sqrt{2}\textrm{ in}^{2}$

$36 \textrm{ in}^{2}$

$36 \sqrt{3}\textrm{ in}^{2}$

正确答案:

$36 \sqrt{3}\textrm{ in}^{2}$

解释：

等边三角形的面积由公式给出

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$

由于四面体的表面由四个等边三角形组成，故总表面积为

$SA = 4 A = 4 \cdot \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} = s^{2}\sqrt{3}$

替代 s = 6 ：

$SA = s^{2}\sqrt{3} = 6^{2}\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ 平方英寸。

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问题257:Psat数学

Tetra_1

给出上面的表面积四面体或四面实心，精确到最接近的十分之一。

可能的答案:

没有提供足够的信息来回答这个问题。

98.0

69.3

84.9

114.3

正确答案:

84.9

解释：

这个四面体有四个面，每个面都是边长为7的等边三角形。每个面都有面积

$A = \frac{s^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{7^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{49 \sqrt{3} }{4} \approx \frac{49 \cdot 1.7321}{4} \approx 21.22$

总表面积是这个的四倍，或者大约 $4 \cdot 21.22 = 84.88$ ．

四舍五入，得到84.9。

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