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PSAT数学:指数中的模式行为

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例子问题

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例子问题1:指数中的模式行为

2015年1月15日，Philip将1万美元存入一张存单，年利率为8.125%，按月复利。到2020年1月15日，他的存单值多少钱?

可能的答案:

$\$15,011.78$

$\$14,778.51$

$\$14,062.50$

$\$15,007.02$

$\$ 14,991.24$

正确答案:

$\$ 14,991.24$

解释：

复利的公式是

$A = A_{0}\left ( 1+ \frac{r}{N} \right )^{Nt}$

在哪里 $A_{0}$ 是初始投资，利率是否以十进制形式表示，是每年复利的周期数，是多少年，和是投资的最终价值。

集 $A_{0} = 10,000, r = 0.08125, N = 12$ (每月= 12期)，和 t = 5 ,并评估：

$A = 10,000 \left ( 1+ \frac{0.08125}{12} \right )^{12 \cdot 5}$

$A \approx 10,000 \left ( 1.0067708\right )^{60}$

$A \approx 10,000 \cdot 1.499124$

$A \approx 1 4,991.24$

这张CD将价值14991.24美元。

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例子问题2:指数中的模式行为

钱存入公司债券，年复利6.735%，10年后到期。下列哪个回答最接近债券价值增长的百分比?

可能的答案:

$95 \%$

$100 \%$

$105 \%$

$90 \%$

$85 \%$

正确答案:

$95 \%$

解释：

复利的公式是

$A = A_{0}\left ( 1+ \frac{r}{N} \right )^{Nt}$

在哪里 $A_{0}$ 是初始投资，利率是否以十进制形式表示，是每年复利的周期数，是多少年，和是投资的最终价值。

在给定的情况下， t = 10 ， r = 0.06735 , N = 12 (月度);替代:

$A = A_{0}\left ( 1+ \frac{0.06735}{12} \right )^{12 \cdot 10}$

$A \approx A_{0}\left ( 1+0.0056125 \right )^{12 0}$

$A \approx A_{0}\left ( 1 .0056125 \right )^{12 0}$

$A \approx A_{0} \cdot 1.9574$

这意味着债券的最终价值约为其初始价值的1.96倍，或相当于比其初始价值高出96%。在给定的回答中，95%最接近。

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例子问题1:如何计算复利

唐娜想把钱存入定期存单，这样她的投资在整整十年后就会值10万美元。定期存单的利率是7.885%，每月复利。

唐娜的初始投资至少应该是多少?

可能的答案:

$\$45,802.62$

$\$ 46,815.46$

要回答这个问题还需要更多的信息。

$\$55,912.78$

$\$45,569.99$

正确答案:

$\$45,569.99$

解释：

复利的公式是

$A = A_{0}\left ( 1+ \frac{r}{N} \right )^{Nt}$

在哪里 $A_{0}$ 是初始投资，利率是否以十进制形式表示，是每年复利的周期数，是多少年，和是投资的最终价值。

集 A = 100,000, r = 0.07885, N = 12 (每月= 12期)，和 t = 10 ,并评估 $A_{0}$ ：

$100,000 = A_{0} \left ( 1+ \frac{0.07885}{12} \right )^{12 \cdot 10}$

$100,000 \approx A_{0} \left ( 1+0.0065708\right )^{120}$

$100,000 \approx A_{0} \left ( 1 .0065708\right )^{120}$

$100,000 \approx A_{0} \cdot 2.1944$

$A_{0} \approx 100,000 \div 2.1944$

$A_{0} \approx 45,569.99$

正确的答案是$45,569.99。

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例子问题1:指数中的模式行为

汤姆投资 $\$15$ ， 000 在年利率为…的储蓄帐户中 $6\%$ ．如果他的投资每半年复利一次，之后他能赚多少利息年?

可能的答案:

$\$1390.91$

$\$1882.63$

$\$1841.31$

$\$1942.35$

$\$1758.45$

正确答案:

$\$1882.63$

解释：

为了计算所得的利息，使用了复利公式

$\text{Final Balance} = \text{Principal} \cdot (1+\frac{IR}{C})^{(\text{Time})(\text{C})}$

在哪里表示帐户每年复利的次数，和表示以小数表示的利率。

$=15,000\cdot(1+\frac{.06}{2})^{(2)(2)}$

$=15,000\cdot(1+.03)^{4}$

$=15,000\cdot(1.03)^{4}$

=16882.63

两年后，该账户价值16882.63美元。因此汤姆获得了1882.63美元的利息。

16882.63-15000=1882.63

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例子问题1:如何在指数中找到模式

如果一个^x·一个⁴=一个¹²和(b)^y）^3.= b¹⁵x - y的值是多少?

可能的答案:

－2

正确答案:

解释：

同底数相乘意味着指数相加，因此x+4 = 12，或x = 8。

幂的一次方表示指数相乘，即3y = 15或y = 5。

X - y = 8 - 5 = 3。

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示例问题251:指数

如果p和q是正积分器和27^p= 9^问那么q的值如何用p表示呢?

可能的答案:

3 p

p (2/3)

2 p

(3/2) p

正确答案:

(3/2) p

解释：

第一步是用等底表示方程两边，这里是3。方程变成了3^{3 p}= 3^2问．那么3p = 2q q = (3/2)p就是我们的答案。

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示例问题251:指数

简化27^2／3．

可能的答案:

729

125

正确答案:

解释：

27^2／3是27的平方和立方根。我们想先选择简单的运算。这是立方根。要看到这一点，请尝试这两个操作。

27^2／3= (27²）^1／3= 729^1／3或

27^2／3= (27^1／3）²= 3²

显然3²要容易得多。要么3²或729^1／3会给我们正确答案9，但有3²这是显而易见的。

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示例问题122:指数

如果而且是整数,

$\left ( \frac{1}{3} \right )^{a}=27^{b}$

的价值是什么 $a\div b$ ?

可能的答案:

$\frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3}$

正确答案:

解释：

为了解决这个问题，我们需要对两边取对数来降低指数。通过这样做，我们将得到 $\dpi{100} \small a\ast log\left (\frac{1}{3} \right)= b\ast log\left (27 \right)$ ．

解出 $\ dpi{100} \小\压裂{一}{b}$ 方程两边同时除以 $日志\ \ dpi{100} \小型压裂{1}{3}$ 得到 $\ dpi{100} \小\压裂{一}{b} = \压裂{日志\左(27 \右)}{日志\离开(\压裂{1}{3}\右)}$ ．

$\dpi{100} \small \frac{log\left (27 \right)}{log\left (\frac{1}{3} \right)}$ 会得到-3的答案。

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示例问题252:指数

如果 $\log 2=0.301$ 而且 $\log 3=0.477$ ，那么什么是 $\log 12$ ?

可能的答案:

1.346

1.079

1.592

1.116

1.255

正确答案:

1.079

解释：

我们使用对数的两个性质:

$logxy = Log (x) + Log (y)$

$Log (x^{n}) = nlog (x)$

所以 $\log 12=2 \log2+\log3$

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示例问题6:指数中的模式行为

评估:

$x ^ {3} x ^ {6}$

可能的答案:

$x ^ {9}$

$x ^ {6}$

$x ^ {3}$

$x ^ {-18}$

$x ^ {3}$

正确答案:

$x ^ {3}$

解释：

$X ^{m}\ast X ^{n} = X ^{m + n}$ ,在这里 m=-3 而且 n=6 ,因此 -3+6=3 ．

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