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让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，其联合概率质量函数如下:

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- 10 x - 10 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

的值 $\uptext{c}$

可能的答案:

$c = \frac{200}{3}$

c = 50

c = 1

c = 200

c = 400

正确答案:

c = 200

解释：

为了求出的值 $\uptext{c}$ 我们需要求出这个函数的二重积分

我们来求一下两者的积分限 $\uptext{x}$ , $\uptext{y}$

我们看p.d.f，看看它的边界 $\uptext{x}$ 是谁, 0<x<y ，以及 $\uptext{y}$ ， $0<y<\infty$

现在我们来建立二重积分

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 10 x - 10 y}\, dx\, dy$

在计算它之前，我们需要记住让二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 10 x - 10 y}\, dx\, dy = 1$

现在求二重积分

$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{10} e^{- 10 y} - \frac{c}{10} e^{- 20 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{100} e^{- 10 y} + \frac{c}{200} e^{- 20 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{200}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{100} e^{- 10 b} + \frac{c}{200} e^{- 20 b}\right)$

$\frac{c}{200} = 1$

现在我们简单地解出 $\uptext{c}$

c = 200

报告错误

问题11:多重随机变量

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，其联合概率质量函数如下:

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- 9 x - 11 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

的值 $\uptext{c}$ 。

可能的答案:

c = 440

c = 220

c = 55

$c = \frac{220}{3}$

c = 1

正确答案:

c = 220

解释：

在计算它之前，我们需要记住让二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 9 x - 11 y}\, dx\, dy = 1$

现在求二重积分

$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{9} e^{- 11 y} - \frac{c}{9} e^{- 20 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{99} e^{- 11 y} + \frac{c}{180} e^{- 20 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{220}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{99} e^{- 11 b} + \frac{c}{180} e^{- 20 b}\right)$

$\frac{c}{220} = 1$

现在我们简单地解出 $\uptext{c}$

c = 220

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