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例子问题

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例子问题1:概率论

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- x - 2 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$

可能的答案:

c = 2

c = 6

$c = \frac{3}{2}$

c = 1

c = 12

正确答案:

c = 6

解释：

来求的值 $\uptext{c}$ 我们需要求函数的二重积分

我们来求一下两者的上界 $\uptext{x}$ , $\uptext{y}$

我们看一下p。d。f。的边界 $\uptext{x}$ 是谁, 0<x<y ，以及 $\uptext{y}$ ， $0<y<\infty$

现在我们来建立二重积分

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- x - 2 y}\, dx\, dy$

在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- x - 2 y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} c e^{- 2 y} - c e^{- 3 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要使用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{2} e^{- 2 y} + \frac{c}{3} e^{- 3 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{6}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{2} e^{- 2 b} + \frac{c}{3} e^{- 3 b}\right)$

$\frac{c}{6} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 6

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例子问题2:概率论

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- x - 19 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$

可能的答案:

c = 400

$c = \frac{1}{380}$

$c = \frac{1}{400}$

c = 380

c = 360

正确答案:

c = 380

解释：

来求的值 $\uptext{c}$ 我们需要求函数的二重积分。

我们来求一下两者的上界 $\uptext{x}$ , $\uptext{y}$ ．

我们看一下p。d。f。的边界 $\uptext{x}$ 是谁, 0<x<y ，以及 $\uptext{y}$ ， $0<y<\infty$ ．

现在我们来建立二重积分。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- x - 19 y}\, dx\, dy$

在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- x - 19 y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} c e^{- 19 y} - c e^{- 20 y}\, dy = 1$
为了求值，我们需要使用极限定义

$\lim_{b\to \infty}\left(- \frac{c}{19} e^{- 19 y} + \frac{c}{20} e^{- 20 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ 19 }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{380}\right) + \lim_{b\to \infty}\left(- \frac{c}{19 e^{361}} + \frac{c}{20 e^{380}}\right)$

$\frac{c}{380} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 380

报告错误

例子问题3:概率论

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- 7 x - 14 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$ ．

可能的答案:

c = 1

c = 294

c = 588

c = 98

$c = \frac{147}{2}$

正确答案:

c = 294

解释：

来求的值 $\uptext{c}$ 我们需要求函数的二重积分。

我们来求一下两者的上界 $\uptext{x}$ , $\uptext{y}$ ．

我们看一下p。d。f。的边界 $\uptext{x}$ 是谁, 0<x<y ，以及 $\uptext{y}$ ， $0<y<\infty$

现在我们来建立二重积分

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 7 x - 14 y}\, dx\, dy$
在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 7 x - 14 y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{7} e^{- 14 y} - \frac{c}{7} e^{- 21 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要使用极限定义
$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{98} e^{- 14 y} + \frac{c}{147} e^{- 21 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{294}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{98} e^{- 14 b} + \frac{c}{147} e^{- 21 b}\right)$

$\frac{c}{294} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 294

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问题4:概率论

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- 5 x - 6 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$ ．

可能的答案:

$c = \frac{33}{2}$

c = 132

c = 66

c = 1

c = 22

正确答案:

c = 66

解释：

来求的值 $\uptext{c}$ 我们需要求函数的二重积分

我们来求一下两者的上界 $\uptext{x}$ , $\uptext{y}$

我们看一下p。d。f。的边界 $\uptext{x}$ 是谁, 0<x<y ，以及 $\uptext{y}$ ， $0<y<\infty$

现在我们来建立二重积分

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 5 x - 6 y}\, dx\, dy$
在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 5 x - 6 y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{5} e^{- 6 y} - \frac{c}{5} e^{- 11 y}\, dy = 1$
为了求值，我们需要使用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{30} e^{- 6 y} + \frac{c}{55} e^{- 11 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{66}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{30} e^{- 6 b} + \frac{c}{55} e^{- 11 b}\right)$

$\frac{c}{66} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 66

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例5:概率论

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- 9 x - 12 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$

可能的答案:

c = 84

c = 252

c = 504

c = 63

c = 1

正确答案:

c = 252

解释：

在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 9 x - 12 y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{9} e^{- 12 y} - \frac{c}{9} e^{- 21 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要使用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{108} e^{- 12 y} + \frac{c}{189} e^{- 21 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{252}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{108} e^{- 12 b} + \frac{c}{189} e^{- 21 b}\right)$

$\frac{c}{252} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 252

报告错误

例子问题6:概率论

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- 6 x - 10 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$ ．

可能的答案:

c = 40

c = 1

c = 320

$c = \frac{160}{3}$

c = 160

正确答案:

c = 160

解释：

在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 6 x - 10 y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{6} e^{- 10 y} - \frac{c}{6} e^{- 16 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要使用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{60} e^{- 10 y} + \frac{c}{96} e^{- 16 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{160}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{60} e^{- 10 b} + \frac{c}{96} e^{- 16 b}\right)$

$\frac{c}{160} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 160

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示例问题7:概率论

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- 10 x - 13 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$

可能的答案:

c = 598

c = 1

c = 299

$c = \frac{299}{3}$

$c = \frac{299}{4}$

正确答案:

c = 299

解释：

在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 10 x - 13 y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{10} e^{- 13 y} - \frac{c}{10} e^{- 23 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要使用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{130} e^{- 13 y} + \frac{c}{230} e^{- 23 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{299}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{130} e^{- 13 b} + \frac{c}{230} e^{- 23 b}\right)$

$\frac{c}{299} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 299

报告错误

例8:概率论

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- 8 x - 9 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$ ．

可能的答案:

$c = \frac{153}{4}$

c = 51

c = 306

c = 1

c = 153

正确答案:

c = 153

解释：

来求的值 $\uptext{c}$ 我们需要求函数的二重积分

我们来求一下两者的上界 $\uptext{x}$ , $\uptext{y}$

我们看一下p。d。f。的边界 $\uptext{x}$ 是谁, 0<x<y ，以及 $\uptext{y}$ ， $0<y<\infty$

现在我们来建立二重积分

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 8 x - 9 y}\, dx\, dy$
在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 8 x - 9 y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{8} e^{- 9 y} - \frac{c}{8} e^{- 17 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要使用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{72} e^{- 9 y} + \frac{c}{136} e^{- 17 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{153}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{72} e^{- 9 b} + \frac{c}{136} e^{- 17 b}\right)$

$\frac{c}{153} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 153

报告错误

问题9:概率论

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- x - y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$ ．

可能的答案:

$c = \frac{1}{2}$

c = 4

c = 1

c = 2

$c = \frac{2}{3}$

正确答案:

c = 2

解释：

在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- x - y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} c e^{- y} - c e^{- 2 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要使用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- c e^{- y} + \frac{c}{2} e^{- 2 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{2}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- c e^{- b} + \frac{c}{2} e^{- 2 b}\right)$

$\frac{c}{2} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 2

报告错误

例子问题1:条件分布和独立性

让 $\uptext{X}$ , $\uptext{Y}$ 为两个电子设备的寿命(小时)，它们的联合概率质量函数如下所示。

$\operatorname{f_{X,Y}}{\left (x,y \right )} = \begin{cases} c e^{- 2 x - 10 y} & 0<x<y<\infty \\ 0, & \text{Otherwise} \end{cases}$

确定的价值 $\uptext{c}$ ．

可能的答案:

c = 120

c = 240

c = 30

c = 1

c = 40

正确答案:

c = 120

解释：

来求的值 $\uptext{c}$ 我们需要求函数的二重积分

我们来求一下两者的上界 $\uptext{x}$ , $\uptext{y}$

我们看一下p。d。f。的边界 $\uptext{x}$ 是谁, 0<x<y ，以及 $\uptext{y}$ ， $0<y<\infty$

现在我们来建立二重积分

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 2 x - 10 y}\, dx\, dy$

在求值之前，我们需要记住二重积分等于1，因为我们实际上是在解c.d.f。

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y} c e^{- 2 x - 10 y}\, dx\, dy = 1$

现在计算二重积分

$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{2} e^{- 10 y} - \frac{c}{2} e^{- 12 y}\, dy = 1$

为了求值，我们需要使用极限定义

$\lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{20} e^{- 10 y} + \frac{c}{24} e^{- 12 y}\right) \Big|_{ 0 }^{ b }$

$- \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{120}\right) + \lim_{b \to \infty}\left(- \frac{c}{20} e^{- 10 b} + \frac{c}{24} e^{- 12 b}\right)$

$\frac{c}{120} = 1$

现在我们只需解出 $\uptext{c}$

c = 120

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