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微积分预备:计算三角函数

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例子问题

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例子问题1:三角函数的求值

找到…的价值 cot(30)+tan(30) 到最近的十分之一如果 sin(30)=0.5 而且 cos(30)= 0.866 ．

可能的答案:

1.7

2.9

2.3

3.2

正确答案:

2.3

解释：

重写 cot(30)+tan(30) 用正弦和余弦表示。

$cot(30)+tan(30)=\frac{cos(30)}{sin(30)}+\frac{sin(30)}{cos(30)}$

代入已知值并计算。

$\frac{0.866}{0.5}+\frac{0.5}{0.866}=1.732+0.577367 =2.309367$

最接近十分之一的答案是 2.3 ．

例子问题1:求一个三角函数的十进制值

确定的价值 $cot(\frac{\pi}{3})$ 十进制形式。

可能的答案:

0.577

3.125

-0.156

0.643

1.732

正确答案:

0.577

解释：

确保计算器处于弧度模式，因为表达式以的形式显示角度 $\pi$ ．把余切转换成正切。

$cot(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{tan(\frac{\pi}{3})}= \frac{1}{\sqrt3}=0.577$

例子问题1:三角函数的求值

求的十进制值

$2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$

可能的答案:

0.5

0.866

0.1542

0.3085

1.732

正确答案:

1.732

解释：

要确定以下三角函数的十进制值， $2cos(\frac{\pi}{6})$ ，确保计算器是在弧度模式。

计算表达式。

$2cos(\frac{\pi}{6})=2(0.866)=1.732$

问题4:三角函数的求值

确定的正确值

$sin\left(\frac{1}{2}^{\circ}\right)$ ．

可能的答案:

2.62

0.48

0.009

1.57

1.05

正确答案:

0.009

解释：

这个问题 $sin(\frac{1}{2})$ 求角度角为时单位圆上的y坐标 $\frac{1}{2}$ ．

注意，当单位圆坐标的y值为时，不要混淆角度的取值 $\frac{1}{2}$ ．

确保计算器处于度数模式。

$sin(\frac{1}{2})=0.00872=0.009$

例子问题1:求一个三角函数的十进制值

找到…的价值

$\sin(270^\circ)+\cos(60^\circ)$ ．

可能的答案:

-1.13

-0.5

1.13

1.5

0.5

正确答案:

-0.5

解释：

在计算器上开始这个问题之前，虽然这是不必要的，因为这些是特殊的角度，确保计算器的模式是度数。

输入表达式的值并求解。

sin(270)+cos(60)= -1+0.5 = -0.5

例子问题6:三角函数的求值

解出区间上的所有x $0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$

$sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

可能的答案:

$45^{\circ}$ ， $90^{\circ}$

$90^{\circ}$ ， $135^{\circ}$

$45^{\circ}$ ， $135^{\circ}$

$135^{\circ}$ ， $225^{\circ}$

正确答案:

$45^{\circ}$ ， $135^{\circ}$

解释：

解出区间上的所有x $0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$

$sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

我们可以从回忆哪两个象限的正弦值为正开始。因为sin对应于y的值，我们知道sin在象限I和象限II是正的。

接下来，回忆一下我们讲到哪里 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 总是与我们的 $45^{\circ}$ 增量角度。在这种情况下，我们要找的角度是 $45^{\circ}$ 而且 $135^{\circ}$ ，因为这是两个 $45^{\circ}$ -前两个象限的增量角。

现在，你可能会说，“关于 $90^{\circ}$ ？这增加了45。”

虽然这是事实， $sin(90^{\circ})=1$ ,而不是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

所以我们的答案是:

$45^{\circ}$ ， $135^{\circ}$

例子问题1:求三角函数值已知的角的度数

解出区间上的所有x $0^{\circ}\leq x \leq 90^{\circ}$

tan(x)=1

可能的答案:

$30^{\circ}$

$0^{\circ}$

$45^{\circ}$

$90^{\circ}$

正确答案:

$45^{\circ}$

解释：

解出区间上的所有x $0^{\circ}\leq x \leq 90^{\circ}$

tan(x)=1

还记得Soh, Cah, Toa吗?

对于这个问题，回忆一下会有帮助 $Tangent=\frac{opposite}{adjacent}$

由于本题中的正切值为1，我们知道对边和邻边必须相等(否则相除时就不会得到1)

你能在第一象限内想出任何x和y值相等的角吗?

如果你猜到了 $45^{\circ}$ 你猜对了!记住 $45^{\circ}$ 单位圆上的角度会得到a 45/45/90 三角形，它的高和底相等。

例8:三角函数的求值

第三季度新

上面的三角形是一个直角三角形。找到…的价值 $\theta$ (度)。

可能的答案:

$49^\circ$

$65^\circ$

$28^\circ$

$57^\circ$

$33^\circ$

正确答案:

$57^\circ$

解释：

我们可以建立关系

$cos(\theta)=\frac{adjacent}{hypotenuse}$

$cos(\theta)=\frac{6}{11}$ ．

求完arccos后，

$cos^{-1}(cos(\theta))=cos^{-1}\left(\frac{6}{11} \right )$

arccos约掉了cos只剩下 $\theta$ ．

$\\ \theta=cos^{-1}\left(\frac{6}{11} \right ) \\ \theta= 56.944^\circ \\ \theta= 57^\circ$

问题9:三角函数的求值

第四季度

价值是什么 $\theta$ (在华)?

可能的答案:

$42^\circ$

$26^\circ$

$57^\circ$

$70^\circ$

$61^\circ$

正确答案:

$61^\circ$

解释：

我们可以建立关系

$\\tan(\theta) = \frac{opposite}{adjacent}\\ tan(\theta)=\frac{9}{5}$ ．

求arctan后，

$tan^{-1}(tan(\theta))=tan^{-1}\left(\frac{9}{5}\right)$

arctan约掉了tan，剩下的就是 $\theta$ ．

$\\ \theta=tan^{-1}\left(\frac{9}{5} \right ) \\ \theta=60.945^\circ \\ \theta=61^\circ$

例子问题1:三角函数的求值

解出 $\theta$ ：

$\sin(3\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

可能的答案:

$\frac{5 \pi }{9}$ 或 $\frac{\pi }{9 }$

$\frac{4 \pi}{3}$ 或 $\frac{5 \pi }{3 }$

$5 \pi$ 或 $4 \pi$

$\frac{5 \pi }{9}$ 或 $\frac{4 \pi }{9 }$

$\frac{ \pi }{9}$ 或 $\frac{2 \pi }{9}$

正确答案:

$\frac{5 \pi }{9}$ 或 $\frac{4 \pi }{9 }$

解释：

如果角的正弦，在这种情况下 $3 \theta$ 是 $-\frac{ \sqrt 3 }{2}$ ，角度一定是 $\frac{4 \pi }{3}$ 或 $\frac{5 \pi }{3 }$ ．

然后我们需要通过除以3来解出

$\frac{4 \pi }{3} \div 3 = \frac{4 \pi }{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4 \pi }{9 }$

$\frac{5 \pi }{3} \div 3 = \frac{5 \pi }{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5 \pi }{9 }$

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