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微积分预备:解对数方程

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例子问题

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例子问题1:解对数方程

评估一个对数。

是什么 $log_{10}1000$ ?

可能的答案:

$\frac{1}{3}$

100

正确答案:

解释：

对数的导数是:

$log_{a}y=x \Leftrightarrow a^{x}=y.$

在这个问题上,

a= 10, y=1000

$10^{3}=1000$

因此, x=3

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例子问题1:解对数方程

解出下对数式中:

$log_{10} x^2 - log_{10} 2x = 2$

可能的答案:

x = 0

x = 10

x = 1000

其他选项都没有

x=100

正确答案:

其他选项都没有

解释：

利用对数法则，

$\log a - \log b = \log \bigg(\frac{a}{b}\bigg)$

因此,

$\log x^2 - \log 2x = log \bigg(\frac{x^2}{2x}\bigg) = log \bigg(\frac{x}{2}\bigg) = 2$

两边同时取底数为10的幂

$10^{log_{10} \frac{x}{2}} = 10^{2}$

指数和对数约掉，得到:

$\frac{x}{2}=10^2$

$x=100\cdot 2=200$

这个答案不匹配任何一个选项，因此答案是“没有其他选项”。

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例子问题1:解对数方程

解以下对数方程:

$2\log _3(x)=\log _3(4)+\log _3(x-1)$

可能的答案:

x=-1

x=4

x=1

x=2

x=-4

正确答案:

x=2

解释：

为了解这个方程，我们必须应用对数的几个性质。首先我们注意到方程左边的项，我们可以用下面的性质来重写它:

$a\log_b (x)=\log_b (x^a)$

其中a是对数的系数b是任意底数。接下来我们看一下方程的右边，我们可以用下面的对数加法性质来重写它:

$\log _ba+\log _bc=\log_b (a\cdot c)$

利用这两个性质，我们可以将对数方程改写为:

$2\log _3(x)=\log _3(4)+\log _3(x-1)$

$\log _3(x^2)=\log _3(4(x-1))$

两边的对数底数相同，因此等式简化为:

$x^2=4x-4\rightarrow x^2-4x+4=0$

我们可以因式分解出哪一个：

$(x-2)(x-2)=0\rightarrow x=2$

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例子问题1:解对数方程

解方程．

$\ln\frac{cx}{ab+c} = b+c$

可能的答案:

其他答案都没有。

$x = \frac{e^be^c(ab+c)}{c}}$

$x = \frac{e^b}{c(ab+c)e^c}$

$x = \frac{e^a}{e^{bc}}}(ab+c)$

ab-e^c

正确答案:

$x = \frac{e^be^c(ab+c)}{c}}$

解释：

我们将方程解为:

$\ln \frac{cx}{ab+c} = b+c$

双方取幂。

$\frac{cx}{ab+c}= e^{b+c}$

在右边应用幂法则。

$\frac{cx}{ab+c} = e^be^c$

乘以 ab+c ．

cx = e^be^c(ab+c)

除以．

$x =\frac{e^be^c(ab+c)}{c}$

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例子问题1:解对数方程

解出：

log(27)- 2log(x)=log(x)

可能的答案:

x=3.67

$x=-\frac{1}{27}$

x=3

x=54

x=-3

正确答案:

x=3

解释：

首先，简化方程左侧的对数表达式:

2log(x) 可以重写为 log(x^2) ．

现在我们有:

log(27)-log(x^2)=log(x) ．

左侧可以使用减法规则合并为一个日志表达式:

$log\left(\frac{27}{x^2}\right)=log(x)$ ．

我们现在两边都是对数，所以我们可以确信无论函数里面是什么都是相等的

$\frac{27}{x^2}=x$ 要继续解，乘以 x^2 双方:

27 = x^3 取立方根:

3 = x

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示例问题6:解对数方程

$(\ln (x^2))^2=\ln (x^4)+3$ ．

解出．

可能的答案:

$e^{-3/2}$

$e^{2/3}$

$e^{3/2}$

$e^{-1/2}$

$e^{4/3}$

正确答案:

$e^{3/2}$

解释：

首先把里面的指数放在自然对数前面。

$(\ln (x^2))^2=\ln (x^4)+3\rightarrow(2\ln (x))^2=4\ln (x)+3$ ．

接下来化简第一项，把所有项都放到方程的一边。

$4(\ln (x))^2-4\ln (x)-3=0$ ．

接下来,我们组

$\ln (x)=A$ ,所以 4A^2-4A-3=0 ．

现在用二次公式来解．

$\\ \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4(a)(c)}}{2a}\\ \\=\frac{4\pm\sqrt{16-4(4)(-3)}}{2(4)}\\ \\=\frac{4\pm \sqrt{16+48}}{8}\\ \\=4\pm \frac{\sqrt{64}}{8}\\ \\=\frac{4\pm 8}{8}\\ \\=\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}$

因此, $A=-\frac{1}{2}$ 而且 $A=\frac{3}{2}$ ．

现在的替代品与 $\ln (x)$ ．

所以, $\ln (x)=-\frac{1}{2}\rightarrow \O$ 自 $x\nleqslant0$ 而且 $\ln (x)=\frac{3}{2}\rightarrow x=e^{3/2}$ ．

因此, $x=e^{3/2}$ ．

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示例问题7:解对数方程

解对数方程: $\ln\sqrt{x+2}=2$

可能的答案:

其他答案都没有。

x=e^4-2

x=e^2+4

x=e^2-2

x=e^4-4

正确答案:

x=e^4-2

解释：

$\ln\sqrt{x+2}=2$

对两边取幂消掉自然对数:

$e^{\ln\sqrt{x+2}}=e^2$

$\sqrt{x+2}=e^2$

方双方:

$(\sqrt{x+2})^2=(e^2)^2$

x+2=e^4

隔离x:

x=e^4-2

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例子问题1:解对数方程

解出x: $\log(2x+1) = 3$

可能的答案:

9.5

499.5

正确答案:

499.5

解释：

默认情况下，对数的底数为10:

$\log _{10 } (2 x + 1 ) = 3$ 转换成指数来隔离x

10^3 = 2x + 1

1,000 = 2x + 1 两边同时减去1

999 = 2x 两边同时除以2

499.5 = x

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示例问题9:解对数方程

解出x: $\log _3 x - \log _3 7 = 2$

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先，把左边浓缩成一个对数:

$\log _3 \frac{x}{7 } = 2$ 转换成指数

$3^2 = \frac{x}{7 }$

$9 = \frac{x}{7}$ 两边同时乘以7

63 = x

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示例问题10:解对数方程

解出x: $\log _4 x + \log _ 4 (3x - 7 ) = 3$

可能的答案:

2.5

没有解决方案

8.90, - 5.40

3.95, - 2.40

5.93 , -3.60

正确答案:

5.93 , -3.60

解释：

首先，将左侧合并为一个对数:

$\log _4 (3x^2 - 7x ) = 3$ 转换成指数

3x^2 - 7x = 64 两边同时减去64

3x^2 - 7 x - 64 = 0 现在我们可以用二次公式求解了:

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4(3)(-64)}}{6 } \approx 5.93, -3.60$

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