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微积分预备:解指数方程

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例子问题

例子问题1:指数函数

解一个包含指数和对数的方程。

解出．

$e^{-3}e^{2}lne^{e}=e^{x}$

可能的答案:

x=0

x=e

x=2

x=1

x=ln0

正确答案:

x=0

解释：

首先，用指数相加法则简化方程左边。

$e^{-3}e^{2}lne^{e}=(e^{(-3+2)})lne^{e}$ ．

我们的方程现在变成:

$e^{-1}lne^e=e^x$

$\frac{1}{e}lne^e=e^x$

$lne^e=e^x \cdot e$

$e=e^{x+1}$

我们设指数相等，然后求解。

1=x+1

因此, x=0.

例子问题2:指数函数

解一个指数方程。

解出．

$e^{3x+2}=\frac{3e^{5x}}{e^{4}}$

可能的答案:

x=ln15-6

x=3-ln3

$x=\frac{6-ln3}{2}$

x=6-ln2

$x=\frac{6-5ln3}{2}$

正确答案:

$x=\frac{6-ln3}{2}$

解释：

首先，利用指数的可加性来化简方程右侧。

$\frac{3e^{5x}}{e^{4}}=3e^{5x-4}$ ．

因此,

$e^{3x+2}=3e^{5x-4}$ ．

现在，两边取自然对数

$ln(e^{3x+2})=ln(3e^{5x-4})$ ．

利用对数的乘法性质展开左边得到

$ln(e^{3x+2})=ln3+lne^{5x-4}$

现在，把对数应用到指数上

3x+2=ln3 +5x-4 ．

重新排列，把x项移到一边

2+4-ln3=5x-3x

6-ln3=2x ．

最后，两边同时除以2

$x=\frac{6-ln3}{2}$ ．

例子问题3:解指数方程

解出．

$2e^5e^{-3}\ln(e^x)=2x^2$

可能的答案:

$x=\ln(2e)$

x=2e

$x=2\ln(e^2)$

x=e^2

x=e

正确答案:

x=e^2

解释：

首先，我们从简化左边开始。

$e^5e^{-3}$ 就变成了 e^2 而且 $\ln(e^x)$ 就变成了．记住, $\ln(e)=1$ ，以及在这个表达式中，come out to the front，例如 $x\cdot \ln(e)$ ．

现在，我们的表达式是

2e^2x = 2x^2

由此，我们可以把两边的2和x约掉。

因此，我们的答案是:

x=e^2 ．

例子问题1:指数函数

池塘里鱼的数量是用指数函数来模拟的

$y=1046e^{-0.1t}$ ,在那里是鱼的种群和为自2010年1月至今的年数。

确定2010年1月和2015年1月的鱼类数量。

可能的答案:

2010:鱼

2015: 523 鱼

2010: 634 鱼

2015: 523 鱼

2010: 1552 鱼

2015: 523 鱼

2010: 1046 鱼

2015: 634 鱼

正确答案:

2010: 1046 鱼

2015: 634 鱼

解释：

在2010年, t=0 因为我们没有2010年之后的年份。把它代入模型方程，然后求解:

$y=1046e^{-0.1(0)} = 1046$ ，因为任何数的0次方都变成．2010年的鱼类数量是 1046 鱼。

在2015年, t=5 因为从2010年到现在已经过去了5年。把它代入方程，解出来

$y=1046e^{-0.1(5)} \approx 634$

2015年的鱼类数量是 634 鱼。这是一个指数衰减的例子，因为函数是递减的。

例5:解指数方程

解出利用指数的性质。

$3^{4x}=27^7$

可能的答案:

$x=\frac{21}{4}$

x=3

$x=\frac{4}{21}$

$x=\frac{7}{4}$

$x=\frac{12}{7}$

正确答案:

$x=\frac{21}{4}$

解释：

自 27=3^3 ，方程化简为 $3^{4x}=(3^3)^7=3^{21}$ ．

由于底数相等，我们可以使指数彼此相等。

用这个简单的方程解x就能得到正确的答案。

$4x=21 \implies x=\frac{21}{4}$

例子问题6:解指数方程

解决: $6\mathrm{e}^{4x}-16=8$

可能的答案:

其他答案都没有。

$x=\ln\frac{1}{4}$

$x=\ln4$

$x=\frac{\ln4}{4}$

x=0

正确答案:

$x=\frac{\ln4}{4}$

解释：

$6\mathrm{e}^{4x}-16=8$

结合常量:

$6\mathrm{e}^{4x}=24$

通过除法分离出指数函数:

$\mathrm{e}^{4x}=4$

两边取自然对数

$\ln(\mathrm{e}^{4x})=\ln(4)$

$4x=\ln(4)$

最后分离出x:

$x=\frac{\ln(4)}{4}\hspace{1mm}or\hspace{1mm}.35$

示例问题7:解指数方程

解的方程．

$2e^{2x}-7e^{x}+6=0$

可能的答案:

$x=ln2,x=ln(\frac{3}{2})$

x=ln(-2),x=ln7

$x=-ln(\frac{3}{4}),x=ln3$

$x=\pm ln3$

x=3,x=ln4

正确答案:

$x=ln2,x=ln(\frac{3}{2})$

解释：

$2e^{2x}-7e^{x}+6=0$

关键在于 $e^{2x}=e^{x}\cdot e^{x}$ ．从这里，方程可以因式分解 $2x^{2}-7x+6=0$ ．

$(2e^{x}-3)(e^{x}-2)=0$

$(2e^{x}-3)=0$ 而且 $(e^{x}-2)=0$

$2e^{x}=3$ 而且 $e^{x}=2$

$e^{x}=\frac{3}{2}$ 而且 $e^{x}=2$

现在取两个方程的lnln。

$ln(e^{x})=ln(\frac{3}{2})$ 而且 $ln(e^{x})=ln2$

$x=ln\frac{3}{2}$ 而且 x=ln2

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