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微积分预备:解二次方程

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例子问题

例子问题1:求解二次方程

求解二次方程:

3x^2-9x-84=0

可能的答案:

x=-4,x=7

x=-6,x=8

x=-2,x=5

$x=\frac{3}{2},x=4$

x=1,x=3

正确答案:

x=-4,x=7

解释：

当解一个二次方程时，首先要看它是否可以因式分解，因为如果二次方程可以因式分解，这通常是最简单和最快的方法。我们可以看到，给定方程中的每一项都有公因式3，所以如果我们先提出3，就会更容易提出二次方程:

3x^2-9x-84=0

3(x^2-3x-28)=0

现在我们剩下一个多项式我们需要找到两个数它们的乘积是-28和是-3。考虑28的因子，我们可以看到，如果7是负的，4是正的，4和7的结果是-3，所以我们现在有了因式分解:

3(x-7)(x+4)=0

$x-7=0\rightarrow x=7$

$x+4=0\rightarrow x=-4$

例子问题1:解二次方程

求下面这个二次方程的根?

y=x^2+9x+20

可能的答案:

x={-5,-4}

x=3

x={2,10}

x={-10,-2}

x={4,5}

正确答案:

x={-5,-4}

解释：

用这种形式求方程的根 y=ax^2+bx+c ，你用二次公式

$\frac{(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)}$ ．

在我们这里，我们做到了 a=1, b=9, c=20 ．

这给了我们 $\frac{(-9\pm\sqrt{9^2-4(1)(20)})}{2}$ 化简为

$\frac{(-9\pm\sqrt{81-80})}{2}=\frac{(-9\pm1)}{2}={-5,-4}$

例子问题1:解二次方程

给定函数 y=x^2-20x+51 求这个二次方程的可能根。

可能的答案:

正确答案:

解释：

因式分解 y=x^2-20x+51 令这个方程等于0。

y=x^2-20x+51=(x-17)(x-3)

(x-17)(x-3)=0

x=17,3

这个问题的答案是一个可能的选择。

问题11:求解二次方程

求的二次方程．

(x-4)^2-16=0

可能的答案:

其他答案都没有。

正确答案:

其他答案都没有。

解释：

有两种解决方案; x=0, x=8 ．

我们按以下步骤进行。

(x-4)^2-16=0

添加两边都有。

(x-4)^2=16

两边取平方根，记住在右边引入正负因为你要在运算中引入平方根。

$x-4 = \pm4$

添加两边都有。

x = 0, 8

例子问题2:解二次方程

求的二次方程．

4x^2 +5x -6 = 0

使用二次公式。

可能的答案:

其他答案都没有。

$-2, \frac{3}{4}$

4,0

$-\frac{5}{8} \pm \frac{1}{8}\sqrt{71}i$

正确答案:

$-2, \frac{3}{4}$

解释：

对于任何这种形式的二次方程 ax^2+bx+c=0 ，二次公式为

$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

代入已知的值 a = 4, b=5, c=-6 我们有:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25+96}}{8}$

$x = -\frac{5}{8} \pm \frac{\sqrt{121}}{8}$

$x= -\frac{5}{8} \pm \frac{11}{8}$

$x = -2, \frac{3}{4}$

例子问题3:解二次方程

求方程的根。

$2x^{2}-x-6=0$

可能的答案:

$x=7,\: \:x=3$

$x=3,\: \:x=-\frac{5}{3}$

$x=2,\: \:x=-7$

$x=\pm3$

$x=2,\: \:x=-\frac{3}{2}$

正确答案:

$x=2,\: \:x=-\frac{3}{2}$

解释：

使用二次公式或因式分解来解二次方程。

使用因式分解，我们要找出哪些6的因子与2的因子相乘，然后相加得到- 1。

$2x^{2}-x-6=0$

(2x+3)(x-2)=0

$x=2,\: \:x=-\frac{3}{2}$

用二次公式，

让

a=2, b=-1, c=-6

$x=\frac{1\pm\sqrt{1-4(2)(-6)}}{2(2)}$

$x=\frac{1\pm \sqrt{1+48}}{4}$

$\\x=\frac{1\pm \sqrt{49}}{4}=\frac{1\pm7}{4}\\ \\x=2, -\frac{3}{2}$

问题4:解二次方程

解决 f(x)=3x^2-4x+1 ．

可能的答案:

$x=-1, \frac{1}{3}$

$x=0, \frac{1}{3}$

$x=-1, -\frac{1}{3}$

$x=1, \frac{1}{3}$

正确答案:

$x=1, \frac{1}{3}$

解释：

要解这个方程，用试错法分解它。因为先导系数是，只有一种方法可以得到 $(3\cdot1)$ ，所以这是一个有用的提醒。一旦正确分解，你会得到: (3x-1)(x-1) ．然后，令这两个表达式都等于扎根: $x=1, \frac{1}{3}$ ．

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