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微积分预备:证明三角恒等式

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例子问题

例子问题1:证明三角恒等式

简化: $1+\frac{cos^2(\theta)}{sin^2(\theta)}$

可能的答案:

$\frac{1}{cot^2{\theta}}$

$csc^2(\theta)$

$sin^2(\theta)$

$sec^2(\theta)$

$\pi+tan^2(\theta)$

正确答案:

$csc^2(\theta)$

解释：

为了简化 $1+\frac{cos^2(\theta)}{sin^2(\theta)}$ ，找到公分母，然后相应地乘以分子。

$1+\frac{cos^2(\theta)}{sin^2(\theta)}=\frac{sin^2(\theta)}{sin^2(\theta)}+\frac{cos^2(\theta)}{sin^2(\theta)}=\frac{sin^2(\theta)+cos^2(\theta)}{sin^2(\theta)}$

分子是恒等式。

$sin^2(\theta)+cos^2(\theta)=1$

代入恒等式，化简。

$\frac{sin^2(\theta)+cos^2(\theta)}{sin^2(\theta)}= \frac{1}{sin^2(\theta)}= csc^2(\theta)$

报告错误

例子问题2:证明三角恒等式

用正弦和余弦来计算:

$\frac{sec^2(\theta)}{cot(\theta)}$

可能的答案:

$\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}$

$\frac{cos(\theta)}{sin(\theta)}$

$\frac{1}{cos(\theta)sin(\theta)}$

$\frac{sin(\theta)}{cos^2(\theta)}$

$\frac{sin(\theta)}{cos^3(\theta)}$

正确答案:

$\frac{sin(\theta)}{cos^3(\theta)}$

解释：

转换 $\frac{sec^2(\theta)}{cot(\theta)}$ 变成正弦和余弦。

$\frac{sec^2(\theta)}{cot(\theta)}= \left(\frac{1}{cos(\theta)}\times\frac{1}{cos(\theta)}\right)\div \frac{cos(\theta)}{sin(\theta)}$

$\left(\frac{1}{cos(\theta)}\times\frac{1}{cos(\theta)}\right)\div \frac{cos(\theta)}{sin(\theta)}=\frac{1}{cos^2(\theta)}\times\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}= \frac{sin(\theta)}{cos^3(\theta)}$

报告错误

例子问题3:证明三角恒等式

简化以下内容:

$sin^3(x)+sin(x)\cdot cos^2(x)$

可能的答案:

sin(x)

这个表达式已经简化了

cos(x)

正确答案:

sin(x)

解释：

$sin^3(x)+sin(x)\cdot cos^2(x)$

首先提出sinx。

$=(sin^2(x)+cos^2(x))\cdot sin(x)$

注意这里出现了毕达哥拉斯同一性。

这个问题需要的恒等式是:

(sin^2(x)+cos^2(x))=1

利用这个恒等式，方程就变成，

$=(1)\cdot sin(x)$

=sin(x) ．

报告错误

例子问题1:证明三角恒等式

简化表达式 $\frac{sin(x)}{cos(x)}\times \frac{1}{cot(x)}$

可能的答案:

tan^2(x)

csc^2(x)

sin^2(x)

cos^2(x)

正确答案:

tan^2(x)

解释：

为了简化，使用三角恒等式 $\frac{sin(x)}{cos(x)}=tan(x)$ 而且 $\frac{1}{cot(x)}=tan(x)$ 重写表达式的两部分:

$tan(x)\times tan(x)$

然后结合使用指数来简化:

tan^2(x)

报告错误

例子问题1:三角恒等式的证明

简化 $\frac{cos(x)}{sin(x)}$ ．

可能的答案:

tan(x)

cot(x)

sec(x)

csc(x)

正确答案:

cot(x)

解释：

这个表达式是一个三角恒等式: $\frac{cos(x)}{sin(x)}=cot(x)$

报告错误

例子问题6:证明三角恒等式

简化 $\frac{2}{csc^2(x)}+\frac{2}{sec^2(x)}$

可能的答案:

2csc(x)

csc(x)

正确答案:

解释：

从表达式中提出2:

$2(\frac{1}{csc^2(x)}+\frac{1}{sec^2(x)})$

然后用三角恒等式 $\frac{1}{csc(x)}=sin(x)$ 而且 $\frac{1}{sec(x)}=cos(x)$ 重写分数:

2(sin^2(x)+cos^2(x))

最后，用三角恒等式 sin^2(x)+cos^2(x)=1 简化:

2(1) = 2

报告错误

示例问题7:证明三角恒等式

简化 $\frac{2sin^2(x)}{tan(x)}+\frac{2cos^2(x)}{tan(x)}$

可能的答案:

2cot(x)

2tan(x)

4tan(x)

4cot(x)

正确答案:

2cot(x)

解释：

提出共同点 $\frac{2}{tan(x)}$ 从表达式中:

$(\frac{2}{tan(x)})(sin^2(x)+cos^2(x))$

接下来，使用三角函数 sin^2(x)+cos^2(x)=1 简化:

$\frac{2}{tan(x)}(1)$

然后使用标识 $\frac{1}{tan(x)}=cot(x)$ 进一步简化如下:

2cot(x)

报告错误

例8:证明三角恒等式

简化 $\frac{2tan^2x+1}{tan^2x}+tan^2x$

可能的答案:

cscx

sec^2x+csc^2x

2sec^2x

2csc^2x

正确答案:

sec^2x+csc^2x

解释：

为了简化表达式，将分数分为两部分:

$\frac{2tan^2x}{tan^2x}+\frac{1}{tan^2x}+tan^2x$

的 tan^2x 第一部分的项约掉了，剩下:

$2+\frac{1}{tan^2x}+tan^2x$

然后你可以用规则来处理剩下的分数 $\frac{1}{tan^2x}=cot^2x$ ．这使得:

2+cot^2x+tan^2x

你可以把它分成:

1+tan^2x+1+cot^2x

这个表达式的每一半都是一个三角恒等式 1+tan^2x = sec^2x 而且 1+cot^2x=csc^2x ．这会给你:

sec^2x+csc^2x

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