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微积分预备:极坐标复数的积和商

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例子问题

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例子问题1:极坐标和复数

找到…的价值 ${}(1+i)^{100}$ ,在那里复数由 ${}i^2=-1$ ．

可能的答案:

${}2^{101}$

${}i2^{100}$

${}-i2^{100}$

${}-2^{100}$

${}-2^{50}$

正确答案:

${}-2^{50}$

解释：

我们注意到 ${}(1+i)^{2}=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$ 挫败。

我们还知道:

$(z)^{nm}=(z^{n})^{m}$

我们用上面的规则:n=2, m=50

$(1+i)^{100}=((1+i)^{2})^{50}$

因为我们知道，

${}(1+i)^{2}=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$

我们有:

$(1+i)^{100}=((1+i)^{2})^{50}$ $=(2i)^{50}$

因为我们知道:

$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ ，我们用a=2,b=i

我们有:

$2^{50}({i}^2)^{25}=2^{50}(-1)^{25} =-2^{50}}$

例子问题2:极坐标和复数

计算如下的和:

${}1+i+i^2+i^3....+i^{2015}$ ．还记得 {}i 这个复数令人满意吗 ${}i^{2}=-1$ ．

可能的答案:

${}\frac{i}{i-1}$

${}\frac{1}{1-i}$

{}-i

{}i

正确答案:

解释：

注意，这是一个几何级数。

因此我们有:

${}1+i+i^2....+i^{2015}=\frac{1-i^{2016}}{1-i}$

注意,

${}i^{2016}$ ＝ ${}({i}^{2})^{1008}$ 由于 ${}i^2=-1$ 我们有 ${}{-1}^{1008}=1$ ．

$\frac{1-1}{1-i}=\frac{0}{1-i}=0$

这表明和是0。

例子问题3:极坐标和复数

找到以下产品。

${}(1-i)^{n}(1+i)^n$

可能的答案:

${}2^{n}$

{}2

${}2i^{n}$

${}-2i^{n}$

${}2^{n-1}$

正确答案:

${}2^{n}$

解释：

注意，通过FOILing这两个二项式，我们得到以下结果:

${}(1+i)(1-i)=1-i+i-i^2=2$

因此,

${}(1-i)^{n}(1-i)^{n}=2^{n}$

问题4:极坐标和复数

计算的大小 ${}(1+i)^{n}$ ．

可能的答案:

${}(\sqrt{2})^n+1$

${}(\sqrt{2})^n$

${}(\sqrt{2})^n-1$

${}(\sqrt{2})^{n+1}$

${}(1-\sqrt{2})^n$

正确答案:

${}(\sqrt{2})^n$

解释：

我们有

${}|(1+i)|=\sqrt{2}$ ．

我们知道 ${}|z^n|=|z|^n$

这就给了我们，

${}|(1+i)^n|=|1+i|^{n}=(\sqrt{2})^{n}$ ．

例子问题1:求复数的乘积

评估:

$(2+i)\cdot(1+4i)$

可能的答案:

i^2

5i-7

i+4

9i-2

正确答案:

9i-2

解释：

为了求出这个问题，我们需要对二项式进行FOIL。

(2+i)(1+4i)

=2(1)+2(4i)+1(i)+4i^2

=2+9i+4i^2

现在回想一下 i^2=-1

因此,

=2+9i-4

=9i-2

例子问题2:求复数的乘积

找到产品,如果

$a=3+7i\:\:\:b=1-i$ ．

可能的答案:

10+4i

3-7i

3+4i

3-3i

正确答案:

10+4i

解释：

找到产品，对复数进行FOIL。铝箔代表的乘法的第一，外，内，和最后。

用这个方法，我们得到如下，

ab=(3+7i)(1-i)=3-3i+7i-7i^2=3+4i-7i^2

因为 i^2=-1

=3+4i-7(-1)=3+4i+7=10+4i ．

示例问题7:极坐标和复数

简化: $i^4 \times i^3$

可能的答案:

$i+\sqrt{-1}$

正确答案:

解释：

表达式 $i^4 \times i^3$ 可以改写为:

$i^4 \times i^3 = i^2\times i^2\times i^2\times i$

自 $i=\sqrt{-1}$ 的值。 i^2 = -1 ．

$i^2\times i^2\times i^2\times i = (-1) (-1) (-1)(i) = -i$

正确答案是:

例8:极坐标和复数

求这两个复数的乘积

$\small 3+7i$ 而且 $\small 7+10i$

可能的答案:

$\small 21+70i$

$\small 10+17i$

$\small 21+79i+70i^2$

$\small -49+79i$

正确答案:

$\small -49+79i$

解释：

乘积是

$\small (3+7i)(7+10i)=21+30i+49i+70i^2=21-70+79i=-49+79i$

例子问题1:求复数的商

让 $a=(1+i)^{n}$ ， b=(1-i)^n ．找到一个简单的形式 $\frac{a}{b}$ ．

可能的答案:

$-i^{n+1}$

$4i^{n+1}$

$2i^{n+1}$

$-i^{n}$

$i^{n}$

正确答案:

$i^{n}$

解释：

我们首先指出:

$\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i}{1-i} \frac{1+i}{1+i}$ $=\frac{(1+i)^2}{2}$

我们知道:

(1+i)^2=1+2i-i^2=2i ．

这意味着:

$\frac{1+i}{1-i}=\frac{2i}{2}=i$

$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=i^{n}$

例子问题2:求复数的商

是什么 $\frac{(i^2)}{1-i}$ ?

可能的答案:

-2i

i^2

$1+\frac{i}{i^2}$

$-1+\frac{1}{1-i}$

正确答案:

$-1+\frac{1}{1-i}$

解释：

自 i^=-1 ，

问题是，

$\frac{-1}{1-i}$

$=-1+\frac{1}{1-i}$

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