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微积分预科:极坐标

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例子问题

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问题1:极坐标

将极坐标转换为直角坐标:

$\left(5, \frac{3\pi}{2}\right)$

可能的答案:

(5, 0)

(-5, 0)

(-5, -5)

(0, -5)

正确答案:

(0, -5)

解释：

转换极坐标 $(r, \theta)$ 到直角坐标 (x, y) ，

$x=r\cos\theta$

$y=r\sin\theta$

利用问题中给出的信息，

$x=5\cos \frac{3\pi}{2}=5(0)=0$

$y=5 \sin \frac{3\pi}{2}=5(-1)=-5$

直角坐标是 (0, -5)

问题1:将极坐标方程转换为矩形方程，反之亦然

从极坐标形式转换为矩形形式:

$r=4\cos\theta$

可能的答案:

(x+y)^2=4

x^2+y^2+4=0

(x-2)^2+y^2=4

(x+2)^2+y^2=4

正确答案:

(x-2)^2+y^2=4

解释：

先把两边都乘以．

$r=4\cos\theta$

$r^2=4r\cos\theta$

记住这一点 r^2=x^2+y^2

$x^2+y^2=4r\cos\theta$

记住, $x=r\cos\theta$

那么,

x^2+y^2=4x

x^2-4x+y^2=0

现在，完成这个正方形。

(x^2-4x+4)+y^2=4

(x-2)^2+y^2=4

问题2:将极坐标方程转换为矩形方程，反之亦然

将极坐标方程转化为矩形形式:

$r=8\sin\theta$

可能的答案:

x^2+(y-4)^2=16

x^2+(y+4)^2=16

(x-4)^2+y^2=15

(x+y-4)^2=16

正确答案:

x^2+(y-4)^2=16

解释：

先把两边都乘以．

$r=8\sin\theta$

$r^2=8r\sin\theta$

记住, r^2=x^2+y^2

$x^2+y^2=8r\sin\theta$

记住这一点 $y=r\sin\theta$

那么,

x^2+y^2=8y

x^2+y^2-8x=0

现在，完成这个正方形。

x^2+(y^2-8x+16)=16

x^2+(y-4)^2=16

这是一个半径为的圆的图形中心在 (0, 4)

问题3:将极坐标方程转换为矩形方程，反之亦然

将极坐标方程转化为矩形形式:

$r=8\sec\theta$

可能的答案:

x=8

(x-1)^2+y^2=64

y=8

x^2+y^2=8

正确答案:

x=8

解释：

记住, $\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$

然后 $r=8\sec\theta$ 就变成了

$r=\frac{8}{\cos\theta}$

现在，两边同时乘以 $\cos\theta$ 来消去分数。

$r\cos\theta=8$

自 $x=r\cos\theta,$ 这个方程的矩形形式是

x=8

问题4:将极坐标方程转换为矩形方程，反之亦然

将极坐标方程转化为矩形形式:

$r^2=4\sin(2\theta)$

可能的答案:

(x^2-^2)^2=8xy

(x^2+y^2+8)=16

(x^2+y^2)^2=8

(x^2+y^2)^2=8xy

正确答案:

(x^2+y^2)^2=8xy

解释：

先用倍角公式 $\sin$ ．

$\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$

代入方程得到:

$r^2=4(2\sin\theta\cos\theta)$

$r^2=8\sin\theta\cos\theta$

因为我们需要 $r\cos\theta$ 和 $r\sin\theta$ 得到和两边分别乘以 r^2 ．

$(r^2)(r^2)=8(r\sin\theta)(r\cos\theta)$

现在，回想一下 r^2=x^2+y^2 ．

(x^2+y^2)(x^2+y^2)=8xy

(x^2+y^2)^2=8xy

问题5:将极坐标方程转换为矩形方程，反之亦然

将极坐标方程转化为矩形形式:

$\theta=\frac{5\pi}{6}$

可能的答案:

y=-3x

$y=-\sqrt3x$

$y=-\frac{\sqrt3}{3}x$

$y=-\frac{3}\sqrt3}x$

正确答案:

$y=-\frac{\sqrt3}{3}x$

解释：

从求正切开始。

$\tan\theta=\tan\frac{5\pi}{6}$

$\tan\theta=-\frac{\sqrt3}{3}$

回想一下, $\tan\theta=\frac{y}{x}$

$\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt3}{3}$

$y=-\frac{\sqrt3}{3}x$

问题6:将极坐标方程转换为矩形方程，反之亦然

将极坐标方程转化为矩形形式:

$\theta=\frac{5\pi}{4}$

可能的答案:

y=-x

$x=\frac{5\pi}{4}$

y=x

$y=\frac{5\pi}{4}$

正确答案:

y=x

解释：

从求正切开始。

$\tan\theta=\tan\frac{5\pi}{4}$

$\tan\theta=1$

回想一下, $\tan\theta=\frac{y}{x}$

$\frac{y}{x}=1$

y=x

问题6:将极坐标方程转换为矩形方程，反之亦然

将极坐标方程转化为矩形形式:

$r=4\sec\theta\tan\theta$

可能的答案:

$y=2\sqrt x$

$y=\frac{1}{4}x^2$

x=4y^2

$y=\frac{1}{2}x^2$

正确答案:

$y=\frac{1}{4}x^2$

解释：

回想一下, $\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$

把这个代入给定的方程得到

$r=4\frac{1}{\cos\theta}\tan\theta$

两边同时乘以 $\cos\theta$ 来消去分数。

$r\cos\theta=4\tan\theta$

回想一下, $x=r\cos\theta$ 这 $\tan\theta=\frac{y}{x}$

$x=4\frac{y}{x}$

4y=x^2

$y=\frac{1}{4}x^2$

问题7:将极坐标方程转换为矩形方程，反之亦然

将极坐标方程转化为矩形形式:

$r=2\csc\theta\cot\theta$

可能的答案:

$y=\sqrt{\frac{x}{2}}$

y=2x^2

$y=\sqrt{2x}$

$y=-\sqrt{2x}$

正确答案:

$y=\sqrt{2x}$

解释：

回想一下, $\csc\theta=\frac{1}{sin\theta}$ 和 $\cot\theta=\frac{1}{tan\theta}$

$r=2\frac{1}{\sin\theta}\frac{1}{\tan\theta}$

两边同时乘以 $\sin\theta$

$r\sin\theta=2(\frac{1}{\tan\theta})$

回想一下, $\tan\theta=\frac{y}{x}$ 和 $r\sin\theta=y$

$y=2(\frac{1}{\frac{y}{x}})$

$y=2(\frac{x}{y})$

2x=y^2

$y=\sqrt{2x}$

问题8:将极坐标方程转换为矩形方程，反之亦然

将极坐标方程转化为矩形形式:

$r=-3\sec\theta$

可能的答案:

x^2+y^2=-3

y=-3

(x-3)^2=4

x=-3

正确答案:

x=-3

解释：

回想一下, $\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$

代入方程得到

$r=-3\frac{1}{\cos\theta}$

两边同时乘以 $\cos\theta$ 来消去分数。

$r\cos\theta=-3$

回想一下, $r\cos\theta=x$

那么这个方程的矩形形式是 x=-3

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