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微积分预备:求与给定向量方向相同的单位向量

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例子问题

例子问题1:求与给定向量方向一致的单位向量

找出与该向量方向相同的单位向量 $\vec{v}= [3,6,1]$

可能的答案:

$\vec{u}_v= \left [ 9,3,1 \right ]$

$\vec{u}_v= \left [ 9,36,1 \right ]$

$\vec{u}_v= \left [ {\frac{9}{\sqrt{3}}},\frac{36}{\sqrt{6}} ,1 \right ]$

$\vec{u}_v= \left [ {\frac{3}{\sqrt{46}}},\frac{6}{\sqrt{46}} , \frac{1}{\sqrt{46}} \right ]$

正确答案:

$\vec{u}_v= \left [ {\frac{3}{\sqrt{46}}},\frac{6}{\sqrt{46}} , \frac{1}{\sqrt{46}} \right ]$

解释：

为了找到与矢量方向相同的单位矢量，我们用它除以它的大小。

的量级 $\vec{v}$ 是 $\left | \vec{v} \right |= \sqrt{3^2+6^2+1^2}=\sqrt{46}$ ．

我们除以向量 $\vec{v}$ 通过它的大小得到单位向量 $\vec{u}_v$ ：

$\vec{u}_v= \frac{\vec{v}}{\left | \vec{v} \right |}=\frac{1}{\sqrt{46}}\cdot[3,6,1]$

或

$\vec{u}_v= \left [ {\frac{3}{\sqrt{46}}},\frac{6}{\sqrt{46}} , \frac{1}{\sqrt{46}} \right ]$

所有单位向量的大小都是，为了验证我们是正确的:

$\left | \vec{u}_v \right | = \sqrt{ (\frac{3}{\sqrt{46}})^2 + (\frac{6}{\sqrt{46}})^2 + (\frac{9}{\sqrt{46}})^2 } = \sqrt{\frac{9}{46} + \frac{36}{46} + \frac{1}{46} } = 1$

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例子问题2:求与给定向量方向一致的单位向量

单位向量有长度．

给定向量

v=<3,6,44,-5,12>

求相同方向上的单位向量。

可能的答案:

<0.065,0.129,0.949,-0.108,0.259>

$<\frac{1}{2},1,\frac{22}{3},\frac{-5}{6},2>$

<3,6,44,-5,12>

$<1,2,\frac{44}{3},\frac{-5}{3},4>$

$<\frac{3}{44},\frac{3}{22},1,\frac{-5}{44},\frac{3}{11}>$

正确答案:

<0.065,0.129,0.949,-0.108,0.259>

解释：

首先，你必须求出向量的长度。这是由方程给出的:

$\sqrt{3^2+6^2+44^2+(-5)^2+12^2}=\left \| v\right \|$

然后，用这个向量除以它的长度，得到相同方向的单位向量。

$\frac{v}{\left \| v\right \|}=\frac{<3,6,44,-5,12>}{\sqrt{2150}}\\ \\ \approx<0.065,0.129,0.949,-0.108,0.259>$

报告错误

例子问题3:求与给定向量方向一致的单位向量

把向量 $\small (1,3)$ 单位向量形式。

可能的答案:

$\left (\frac{1}{10},\frac{3}{10}\right)$

$\left (\frac{3}{10},\frac{1}{10}\right)$

$\left (\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$

$\small (3,1)$

$\left (\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$

正确答案:

$\left (\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$

解释：

得到与原向量方向相同的单位向量 $\small v$ ，我们用向量的大小除以向量的大小。

为 $\small (1,3)$ ，大小为:

$\sqrt{x^2+y^2}$

$\small \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ ．

这意味着单位向量在同一方向上 $\small (1,3)$ 是,

$\small \frac{1}{\sqrt{10}}(1,3)=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ ．

报告错误

例子问题1:求与给定向量方向一致的单位向量

求单位向量

$\left<3,\,4\right>$ ．

可能的答案:

$\left<1,0\right>$

$\left<\frac{3}{5},\, \frac{4}{5}\right>$

$\left<1,1\right>$

$\left<1,3\right>$

正确答案:

$\left<\frac{3}{5},\, \frac{4}{5}\right>$

解释：

为了求出单位向量u一个给定的向量v，我们按照公式来做

$u=\frac{v}{\left | v\right |}$

让

$v=\left<a,b\right>$

v的大小符合公式

$\left | v\right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ．

对于这个向量

$\left | v\right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

$\left | v\right |=5$ ．

根据单位矢量公式，代入矢量和幅值

$u=\frac{\left< 3,4\right>}{5}$ ．

因此,

$u\,=\,\left<\frac{3}{5},\, \frac{4}{5}\right>$ ．

报告错误

例子问题1:求与给定向量方向一致的单位向量

求单位向量

$\left<5,\,12\right>$

可能的答案:

$\left<\frac{5}{13},\,\frac{12}{13}\right>$

$\left<1, \frac{12}{5}\right>$

$\left<\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right>$

$\left<2,1\right>$

正确答案:

$\left<\frac{5}{13},\,\frac{12}{13}\right>$

解释：

为了求出单位向量u一个给定的向量v，我们按照公式来做

$u=\frac{v}{\left | v\right |}$

让

$v=\left<a,b\right>$

v的大小符合公式

$\left | v\right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

对于这个向量

$\left | v\right |=\sqrt{5^{2}+12^{2}}$

$=\sqrt{25+144}$

$=\sqrt{169}$

$\left | v\right |=13$

根据单位矢量公式，代入矢量和幅值

$u=\frac{\left< 5,12\right>}{13}$

因此,

$u\,=\,\left<\frac{5}{13},\, \frac{12}{13}\right>$

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