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微积分预备:求矩阵和标量的乘积

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例子问题

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例子问题1:矩阵乘法

找到产品。

$-3\begin{bmatrix} 4& 11& 0 \\ 8 & -1 & 14\\ 5 & 2 & -3 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} -45\\ -63\\ -12 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -12 & -33& 0 \\ -24 & -3 & -42 \\ -15 & -6 & -9 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -12 & -33 & 0 \\ -24 & 3 & -42 \\ -15 & -6 & 9 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 8 & 0 \\ 5 & -4 & 11\\ 2 & -1 & -6 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} -12 & -33 & 0 \\ -24 & 3 & -42 \\ -15 & -6 & 9 \end{bmatrix}$

解释：

当我们将一个标量(正则数)与一个矩阵相乘时，我们所需要做的就是将它与矩阵中的每个元素相乘:

报告错误

例子问题1:求矩阵和标量的乘积

找到产品。

$8\begin{bmatrix} -2& 10& -4\\ 6& 30& 1 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 16& 80& 32\\ 48& 24& 8 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 32\\ 296 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 32\\ 320\\ -24 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -16& 80& -32\\ 48& 240& 8 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} -16& 80& -32\\ 48& 240& 8 \end{bmatrix}$

解释：

当我们将一个标量(正则数)与一个矩阵相乘时，我们所需要做的就是将它乘以矩阵中的每一项:

报告错误

例子问题2:求矩阵和标量的乘积

找到产品。

$5\begin{bmatrix} 2& 5\\ 1& 3 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 10& 5\\ 25& 15 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 35\\ 20 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 10& 25\\ 5& 15 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 15\\ 40 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 10& 25\\ 5& 15 \end{bmatrix}$

解释：

当我们将一个标量(正则数)与一个矩阵相乘时，我们所需要做的就是将它乘以矩阵中的每一项:

报告错误

问题4:矩阵乘法

我们考虑以下矩阵:

$A=\begin{bmatrix} 2^m & 2^m &\cdots & 2^m &2^m \\2^m & 2^m &\cdots & 2^m &2^m \\ \vdots &\vdots&\vdots& \vdots &\vdots\\ 2^m & 2^m &\cdots & 2^m &2^m \\ 2^m & 2^m &\cdots & 2^m &2^m \end{bmatrix}$

让 $k= \frac{1}{2^{m-1}}$

当我们执行下面的乘积时，我们会得到什么矩阵?

可能的答案:

乘积取决于m的值。

$A=\begin{bmatrix} 2^m & 2^m &\cdots & 2^m &2^m \\2^m & 2^m &\cdots & 2^m &2^m \\ \vdots &\vdots&\vdots& \vdots &\vdots\\ 2^m & 2^m &\cdots & 2^m &2^m \\ 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \\2& 2 &\cdots & 2 &2 \\ \vdots &\vdots&\vdots& \vdots &\vdots\\ 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \\ 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \end{bmatrix}$

乘积依赖于已知A的大小

我们不能做这个乘法。

正确答案:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \\2& 2 &\cdots & 2 &2 \\ \vdots &\vdots&\vdots& \vdots &\vdots\\ 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \\ 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \end{bmatrix}$

解释：

我们注意到k只是一个标量。要做这个乘法，我们需要做的就是把矩阵的每一项都乘以k。

我们看到，当我们相乘时，我们有:

$k\times 2^m=\frac{2^m}{2^{m-1}}=2^{m-m+1}=2$

这就给出了矩阵kA的元素。

因此得到的矩阵为:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \\2& 2 &\cdots & 2 &2 \\ \vdots &\vdots&\vdots& \vdots &\vdots\\ 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \\ 2 & 2 &\cdots & 2 &2 \end{bmatrix}$

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示例问题31:矩阵与向量

我们考虑下面定义的矩阵。

$A=\begin{bmatrix} 1 &1 &\cdots &1 \\ 1 &1 &\cdots &1\\ 1&\vdots&\vdots&1 \\ 1 &1 &\cdots &1 \end{bmatrix}$

求和: $A+A+\cdots +A (n \quad times)$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} n &n&\cdots &n \\ n &n&\cdots &n\\ n&\vdots&\vdots&n \\ n &n&\cdots &n \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 &1 &\cdots &1 \\ n &n &\cdots &n\\ 1&\vdots&\vdots&1 \\ 1 &1 &\cdots &1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 &1 &\cdots &1 \\ 1 &1 &\cdots &1\\ 1&\vdots&\vdots&1 \\ 1 &1 &\cdots &1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} n&n &\cdots &n \\ 1 &1 &\cdots &1\\ 1&\vdots&\vdots&1 \\ 1 &1 &\cdots &1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 &1 &\cdots &1 \\ 1 &1 &\cdots &1\\ 1&\vdots&\vdots&1 \\ n &n &\cdots &n \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} n &n&\cdots &n \\ n &n&\cdots &n\\ n&\vdots&\vdots&n \\ n &n&\cdots &n \end{bmatrix}$

解释：

因为我们将矩阵与自身相加，我们有相同的大小，我们可以执行矩阵相加。

我们知道，当矩阵相加时，我们是按分量相加的。设(i,j)为加法矩阵中的任意一项。我们将A的条目添加到B的条目中，B的条目与A相同。这意味着要添加A+A，我们只需将A的每个条目添加到自身。

由于A中的元素相同且由1给出，B=A中的元素相同且由1给出，我们将两者相加得到:

1+1，这意味着A+A的每一项都是2。我们继续以这种方式，将A的每个项与自身相加n次，得到A+A+....的项A(n次)为:

$\begin{bmatrix} n &n&\cdots &n \\ n &n&\cdots &n\\ n&\vdots&\vdots&n \\ n &n&\cdots &n \end{bmatrix}$

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例子问题6:矩阵乘法

让是正整数，让定义如下:

$A=\begin{bmatrix} n\\n \\ \vdots \\ n \end{bmatrix}$

找到产品．

可能的答案:

$\begin{bmatrix} n^2\\n^2\\ \vdots \\ n^2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} n\\n \\ \vdots \\ n \end{bmatrix}$

我们不能相乘而且．

$\begin{bmatrix} n+1\\n +1\\ \vdots \\ n+1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2n\\2n \\ \vdots \\ 2n \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} n^2\\n^2\\ \vdots \\ n^2 \end{bmatrix}$

解释：

我们注意到n只是一个标量。要做这个乘法，我们需要做的就是把矩阵的每一项都乘以n。

我们看到，当我们相乘时，我们有: $n\times n=n^2$ ．

这意味着结果矩阵的每一项都是 n^2 ．

这就给出了nA值:

$\begin{bmatrix} n^2\\n^2\\ \vdots \\ n^2 \end{bmatrix}$

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示例问题7:矩阵乘法

计算: $2\begin{bmatrix} -3& 4 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} -1& 6 \end{bmatrix}$

Invalid

$\begin{bmatrix} -6\\8 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -6& 8 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1\\ 6 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} -6& 8 \end{bmatrix}$

解释：

一个标量乘以一个1 × 2矩阵将得到一个1 × 2矩阵。

将标量值与矩阵中的每个值相乘。

$2\begin{bmatrix} -3& 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6&8 \end{bmatrix}$

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例子问题1:矩阵

评估: $-3\begin{bmatrix} 2& 3 & 4\\ 4&-5 & 10 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} -6& -9& -12\\ -12& 15& -30 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -12&-6 \\ 15& -9\\ -30&-12 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -18& 6& -42 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1& 0& 1\\ -12& 15&-30 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -12& -1\\ 15& 0\\ -30& 1 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} -6& -9& -12\\ -12& 15& -30 \end{bmatrix}$

解释：

这个问题涉及到一个矩阵的标量乘法。简单地将- 3乘上2 × 3矩阵中的每一个数。行和列不会改变。

$-3\begin{bmatrix} 2& 3 & 4\\ 4&-5 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6&-9 &-12 \\ -12& 15&-30 \end{bmatrix}$

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例子问题12:矩阵

简化:

$\begin{bmatrix} 13 & 4\\ 71 &3 \end{bmatrix} + 4\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 11 &22 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 20 & 12\\ 44 &88 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 33 & 16\\ 115 & 91\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 49\\ 206\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 49 & 206\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 31 & 93\\ 3 &21 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 33 & 16\\ 115 & 91\end{bmatrix}$

解释：

矩阵的标量乘法和加法都很简单。就像普通的标量值一样，你先做乘法:

$\begin{bmatrix} 13 & 4\\ 71 &3 \end{bmatrix} + 4\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 11 &22 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 13 & 4\\ 71 &3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 20 & 12\\ 44 &88 \end{bmatrix}$

矩阵的加法非常简单。你只需要把它们直接加在一起，直接把空格联系起来。

$\begin{bmatrix} 13 & 4\\ 71 &3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 20 & 12\\ 44 &88 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 +20 & 4+12\\ 71+44 &3 +88\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 13 +20 & 4+12\\ 71+44 &3 +88\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 33 & 16\\ 115 & 91\end{bmatrix}$

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例子问题1:矩阵

$5\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = 14\begin{bmatrix} 20 \\ 12 \end{bmatrix}$

是什么 a+b ?

可能的答案:

$\frac{148}{5}$

$\frac{448}{5}$

$\frac{191}{4}$

$\frac{41}{5}$

正确答案:

$\frac{448}{5}$

解释：

你可以像对待这个方程一样开始:

5x=14y

也就是说，两边都除以：

$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \frac{14}{5}\begin{bmatrix} 20 \\ 12 \end{bmatrix}$

现在，对于矩阵的标量乘法，你只需要将标量乘以每个分量:

$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{14}{5}*20 \\ \frac{14}{5}*12 \end{bmatrix}$

然后,简化:

$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 56 \\ \frac{168}{5} \end{bmatrix}$

因此, $a+b=56+\frac{168}{5}=\frac{280}{5}+\frac{168}{5}=\frac{448}{5}$

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