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微积分预备:计算几何向量

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例子问题

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例子问题1:求几何向量

求乘积所给出的向量: $\frac{4}{7}<-3,5,14>$

可能的答案:

$<\frac{-12}{7},\frac{20}{7},8>$

$<\frac{-21}{4},\frac{35}{4},\frac{49}{2}>$

<-21,35,98>

$<\frac{-3}{7},\frac{5}{7},2>$

<-12,20,56>

正确答案:

$<\frac{-12}{7},\frac{20}{7},8>$

解释：

给定一个标量k和一个向量v，由它们的乘积给出的向量是按分量定义的:

k<v_1,v_2,...,v_n>=<kv_1,kv_2,...,kv_n> ．

这里，我们的产品是:

$\frac{4}{7}<-3,5,14>=<\frac{4}{7}(-3),\frac{4}{7}(5),\frac{4}{7}(14)>\\ \\ =<\frac{-12}{7},\frac{20}{7},8>$

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例子问题2:求几何向量

这个问题指的是上一个问题。

简化。

$4\cdot \left<3,6,9\right>$

可能的答案:

$\left<2, 2, 3\right>$

$\left<12, 4, 6\right>$

$\left<12, 24, 6\right>$

$\left<12, 24, 36\right>$

$\left<1, 24, 3\right>$

正确答案:

$\left<12, 24, 36\right>$

解释：

为了简化这个问题，我们需要将标量因子乘到向量的每个分量上。

在我们的例子中，标量因子是

因此,

$4\cdot \left<3,6,9\right>\rightarrow \left<4\cdot 3, 4\cdot 6, 4\cdot 9\right>$

$\rightarrow \left<12, 24, 36\right>$

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例子问题1:求几何向量

评估: $6\left \langle -2,-3,4\right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle -6\right \rangle$

$\left \langle -6,-6,-6 \right \rangle$

$\left \langle 12,18,-24 \right \rangle$

$\left \langle 4,3,10 \right \rangle$

$\left \langle -12,-18,24 \right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -12,-18,24 \right \rangle$

解释：

为了确定向量的最终值，将标量分布到向量中的每一项中。

$6\left \langle -2,-3,4\right \rangle=\left \langle -12,-18,24 \right \rangle$

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问题4:求几何向量

如果向量从 A(3,-3) 来 B(5.3) 乘以3的比例因子，新的向量是什么 $\underset{AB}{\rightarrow}$ ?

可能的答案:

$\left \langle 24,18\right \rangle$

$\left \langle 2,6\right \rangle$

$\left \langle 2,0\right \rangle$

$\left \langle 6,0\right \rangle$

$\left \langle 6,18\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle 6,18\right \rangle$

解释：

找到 $\underset{AB}{\rightarrow}$ ：

减去向量 A(3,-3) 从 B(5.3) ．

$B-A=\left \langle 2,6\right \rangle$

把这个向量乘以3。

$3\cdot\left \langle 2,6\right \rangle= \left \langle 6,18\right \rangle$

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例子问题2:求几何向量

求乘积:

$3\cdot \left \langle -2,3\right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle6,9\right \rangle$

$\left \langle -15,15\right \rangle$

$\left \langle 15,15\right \rangle$

$\left \langle -1,6\right \rangle$

$\left \langle -6,9\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -6,9\right \rangle$

解释：

当一个标量与一个向量相乘时，只需将该值分配给向量中的两项。

$3\cdot \left \langle -2,3\right \rangle=\left \langle -6,9\right \rangle$

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例子问题1:几何向量

当给定一个向量时一个标量的长度和角度发生了什么变化当与?

可能的答案:

$\left | AV\right |=A\left | V\right |$ 或者说乘积的长度是乘以原向量的长度。

角度不变。

$\left | AV\right |=A\left | V\right |$ 或者说乘积的长度是乘以原向量的长度。

这个角乘以

$\left | AV\right |=\sqrt{A}\left | V\right |$ 或者说乘积的长度是 $\sqrt{A}$ 乘以原向量的长度。

这个角乘以．

$\left | AV\right |=\left | V\right |$ 或者说乘积的长度等于原向量的长度。

角度不变

$\left | AV\right |=\left | V\right |$ 或者说乘积的长度等于原向量的长度。

这个角乘以．

正确答案:

$\left | AV\right |=A\left | V\right |$ 或者说乘积的长度是乘以原向量的长度。

角度不变。

解释：

简单来说三角形的斜边是由的分量构成的吗．所以当你相乘时通过它把所有的组件都乘以．这使得斜边的长度增加如前所述 ($A$a)^2+($A$b)^2=($A$c)^2 来自勾股定理。

出于同样的原因，角度不会改变，因为新的长三角形和原来的三角形相似。

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示例问题7:求几何向量

确定产品: $2\cdot \left \langle -2,-4,5\right \rangle$

可能的答案:

$\left \langle -4,-8,10\right \rangle$

$\left \langle 0,-2,7\right \rangle$

$\left \langle -\frac{2\sqrt5}{15},-\frac{4\sqrt5}{15}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle -4,-8,10\right \rangle$

解释：

要找到标量和向量的乘积，只需将标量乘遍向量内的每一项。不要把它和点积或者向量的范数混淆。

$2\cdot \left \langle -2,-4,5\right \rangle =\left \langle 2(-2),2(-4),2(5)\right \rangle= \left \langle -4,-8,10\right \rangle$

答案是: $\left \langle -4,-8,10\right \rangle$

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例8:求几何向量

评估 (2.3i + 7.4j - 4.6k) - (3.2i+5.1j - 2.4k)

可能的答案:

(-0.9i + 2.3j -2.2k)

(2.3i-0.9j-2.2k)

其他答案都没有

(5.5i + 12.5j - 7.0k)

(1.2i+8.2j-1.7k)

正确答案:

(-0.9i + 2.3j -2.2k)

解释：

当两个向量相加时，它们需要展开成它们的分量。幸运的是，问题表述已经给出了向量的分量形式。从这里，我们只需要记住，我们只能添加类似的组件。对于这个问题，我们得到:

i: 2.3 - 3.2 = -0.9

j: 7.4-5.1 = 2.3

k: -4.6 + 2.4 = -2.2

现在我们可以结合这些值来写出完整的向量:

-0.9i + 2.3j -2.2k

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示例问题21:理解标量和向量

下面矢量的大小和角度是多少，从x轴测量CCW ?

-2.00 i + 3.00 j

可能的答案:

$m=1.00,\ \theta=124^o$

$m=3.61,\ \theta=-124^o$

$m=3.61,\ \theta=124^o$

$m=3.61,\ \theta=236^o$

$m=2.24,\ \theta=-56.3^o$

正确答案:

$m=3.61,\ \theta=124^o$

解释：

向量的大小可以用距离公式计算:

$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-2)^2+(3)^2}=\sqrt{13}=3.61$

要计算角度，我们必须先求出的正切 $\frac{y}{x}$ ：

$\arctan(\frac{y}{x})=\arctan(\frac{3}{-2})=-56.3^o$

这个角值是主弧曲线，但它在第四象限，而我们的向量在第二象限。我们必须在这个值上加上180°角才能得到最终答案。

$\theta=180^o+(-56.3^o)=124^o$

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示例问题21:理解标量和向量

向量 $\vec{A}$ 星等为3.61，与x轴的方向为124°CCW。表达 $2\vec{A}$ 单位向量形式。

可能的答案:

4.00 i + 6.00 j

-4.00 i + 6.00 j

4.00 i - 6.00 j

6.00 i - 4.00 j

-2.00 i + 3.00 j

正确答案:

-4.00 i + 6.00 j

解释：

为向量 $2\vec{A}$ 时，大小增加了一倍，但方向不变。

在我们的计算中，我们使用的大小为:

$m=2\times3.61=7.22$

x坐标是角度的大小乘以余弦，而y坐标是角度的大小乘以正弦。

$x = m \cos \theta = 7.22 \cos (124^o) = -4.00$

$y = m \sin \theta = 7.22 \sin (124^o) = 6.00$

合成向量为: -4.00 i + 6.00 j ．

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