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微积分预备:一个三角函数的振幅，周期，相移

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例子问题

例子问题1:三角函数的振幅，周期，相移

下面这个函数的振幅是多少?

$y = -24\sin(x-\pi)+14$

可能的答案:

$\pi$

24

-24年

-14年

14

正确答案:

24

解释：

当你想到一个形式为y的三角函数＝一个年代我n（Bx+C）+D，振幅用A表示，也就是正弦函数前面的系数。虽然这个数字是-24，但我们总是将振幅表示为正数，即取其绝对值。因此，这个函数的振幅为24。

例子问题2:三角函数的振幅，周期，相移

选择正确匹配每个函数与其周期的答案选项。

可能的答案:

$\sin x \rightarrow \pi$

$\cos x \rightarrow \pi$

$\tan x \rightarrow 2\pi$

$\cot x \rightarrow 2\pi$

$\sec x \rightarrow 2\pi$

$\csc x \rightarrow 2\pi$

$\sin x \rightarrow 2\pi$

$\cos x \rightarrow 2\pi$

$\tan x \rightarrow 2\pi$

$\cot x \rightarrow 2\pi$

$\sec x \rightarrow 2\pi$

$\csc x \rightarrow 2\pi$

$\sin x \rightarrow 2\pi$

$\cos x \rightarrow 2\pi$

$\tan x \rightarrow \pi$

$\cot x \rightarrow \pi$

$\sec x \rightarrow 2\pi$

$\csc x \rightarrow 2\pi$

$\sin x \rightarrow \pi$

$\cos x \rightarrow \pi$

$\tan x \rightarrow \pi$

$\cot x \rightarrow \pi$

$\sec x \rightarrow \pi$

$\csc x \rightarrow \pi$

$\sin x \rightarrow 2\pi$

$\cos x \rightarrow 2\pi$

$\tan x \rightarrow 2\pi$

$\cot x \rightarrow 2\pi$

$\sec x \rightarrow \pi$

$\csc x \rightarrow \pi$

正确答案:

$\sin x \rightarrow 2\pi$

$\cos x \rightarrow 2\pi$

$\tan x \rightarrow \pi$

$\cot x \rightarrow \pi$

$\sec x \rightarrow 2\pi$

$\csc x \rightarrow 2\pi$

解释：

下面将正确的周期与对应的三角函数匹配:

$\sin x \rightarrow 2\pi$

$\cos x \rightarrow 2\pi$

$\tan x \rightarrow \pi$

$\cot x \rightarrow \pi$

$\sec x \rightarrow 2\pi$

$\csc x \rightarrow 2\pi$

换句话说，sinx cosx sec x csc x都是重复的 $2\pi$ 单位。然而，tanx和cot x会更频繁地重复 $\pi$ 单位。

例子问题3:三角函数的振幅，周期，相移

正弦曲线的周期是多少?

三角周期1

可能的答案:

$\pi^2$

$3\pi$

$\frac{2}{3}\pi$

$\frac{3}{2}\pi$

正确答案:

$\frac{2}{3}\pi$

解释：

这个图在0和之间有3个波 $2\pi$ ，这意味着每个波的长度为 $2\pi$ 除以3，或者 $\frac{2}{3}\pi$ ．

问题4:三角函数的振幅，周期，相移

写出最大值为的余弦图的方程 $\left( \frac{ \pi }{3} , 3 \right)$ 最小值为 $\left(\frac{ 4 \pi }{3} , -3 \right)$ ．

可能的答案:

$y = 3 \cos (\frac{ 1}{2} ( x - \frac{ \pi }{3} ))$

$y = 2 \cos (x + \frac{ \pi }{3} )+ 1$

$y = 2 \cos (\frac{ 1}{2} ( x + \frac{ \pi }{3} )) + 1$

$y = 3 \cos (x - \frac{ \pi }{3} )$

$y = -3 \cos (x - \frac{ \pi } {3 })$

正确答案:

$y = 3 \cos (x - \frac{ \pi }{3} )$

解释：

为了写出这个方程，画一个图是有帮助的:

三角图2

虚线是在 $x = \frac{ \pi }{3}$ ，最大值发生在这里，因此图从这里开始。这意味着图像向右移动了 $\frac{ \pi }{3}$ ．

从最大值到最小值的距离是整个波长的一半。在这里 $\frac{ 4 \pi }{3} - \frac{ \pi }{3} = \frac{ 3 \pi }{3} = \pi$ ．

因为波长的一半是 $\pi$ ，表示全波长为 $2 \pi$ 所以频率是1。

振幅是3，因为图形从-3到3是对称的。

方程是这样的形式 $y = A \cdot \cos (f (x - h)) + k$ 其中A是振幅，f是频率，h是水平移动，k是垂直移动。

这个方程是

$y = 3 \cos (x - \frac{ \pi } {3 })$ ．

例子问题1:三角函数的振幅，周期，相移

求的相移 F(t)=3sin(2t+4) ．

可能的答案:

2

－2

4

3.

正确答案:

－2

解释：

在公式中，

F(t)=Asin(Bt-C)+D ．

$\frac{C}{B}$ 表示相移。

输入我们已知的信息，我们会得到:

$\frac{C}{B}=\frac{-4}{2}$ ．

简化后，阶段就是那时．

例子问题6:三角函数的振幅，周期，相移

哪个方程可以得到正弦曲线?

相移2

可能的答案:

$y=sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$

$y=2sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-1$

$y=2sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1$

$y=sin\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)-1$

y=sin(2x)-3

正确答案:

$y=2sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1$

解释：

图的振幅为2，但向下移动了1:

相移2点

根据方程，sin前面是2，后面是-1。

这使得它更容易看到图形开始[在0]的位置 $x=\frac{\pi}{4}$ ．

相移是 $\frac{\pi}{4}$ 向右，或者 $x-\frac{\pi}{4}$ ．

示例问题7:三角函数的振幅，周期，相移

下列哪个方程可以表示振幅为3，周期为3的余弦函数 $\frac{\pi}{2}$ ，相移为 $\frac{\pi}{4}$ ?

可能的答案:

$y = -3\cos(4x+\pi)$

$y = 3\cos(x+\pi)$

$y = 3\cos(x-\pi)$

$y=-3\cos(4x-\pi)$

正确答案:

$y=-3\cos(4x-\pi)$

解释：

方程的形式是 $y=A\cos(Bx+C)$

首先，考虑所有可能的振幅为3的A值。A = -3或A = 3都可以产生振幅= 3。一定要找到满足这两个条件之一的答案。

其次，我们知道周期是 $\frac{\pi}{2}$ ．通常我们知道B是多少，需要求周期，但这是反过来的。我们仍然可以用同样的方程来解:

$\frac{2\pi}{B}=\frac{\pi}{2}$ ．你可以交叉相乘得到B = 4。

最后，我们需要找到一个满足C的值

$-\frac{C}{B}=\frac{\pi}{4}$ ．交叉相乘得到:

$-4C=B\pi$ ．

接下来，代入B= 4求解C:

$-4C = 4\pi$

$C=-\pi$

把所有这些放在一起，方程可以是:

$y = 3\cos(4x-\pi)$ 或 $y = -3\cos(4x-\pi)$

例8:三角函数的振幅，周期，相移

说明函数的振幅、周期、相移和垂直位移 $y=-7\sin(6x+\pi)-4$

可能的答案:

振幅:7

期: $\pi$ / 3

相移: $\pi$ / 6

垂直位移:-4

振幅:7

时间:- $\pi$ / 3

相移:- $\pi$ / 6

垂直位移:-4

振幅:7

期: $\pi$ / 3

相移:- $\pi$ / 6

垂直位移:-4

振幅:7

期: $\pi$ / 3

相移:- $\pi$ / 6

垂直位移:4

正确答案:

振幅:7

期: $\pi$ / 3

相移:- $\pi$ / 6

垂直位移:-4

解释：

理解三角函数的所有变换的常用方法如下所示。对于方程y = asin (Bx + C) + D，

振幅是|的|
周期是2 $\pi$ B / | |
相移为-C / B
垂直位移为D

在方程中，A=-7, B=6, C= $\pi$ ， D=-4。接下来，应用上述数字来找到振幅、周期、相移和垂直移动。

要找到振幅，看正弦函数前面的系数。A=-7，所以振幅等于7。

周期是2 $\pi$ /B，这里B=6。因此这个函数的周期等于2 $\pi$ / 6或 $\pi$ / 3。

要找到相移，取- c /B或- $\pi$ / 6。另一种求相同值的方法是将括号内设为0，然后解出x。
6 x + $\pi$ = 0
6 x = - $\pi$
x = - $\pi$ / 6
不管怎样，相移等于- $\pi$ / 6。

竖直位移等于D，也就是-4。

y = 7 \罪(6 x + \π)4

问题9:三角函数的振幅，周期，相移

说明函数的振幅、周期、相移和垂直位移 $y=-\cos(x-\pi)+3$

可能的答案:

振幅:1

期: $2\pi$

相移: $2\pi$

垂直位移:3

振幅:1

期: $2\pi$

相移: $\pi$

垂直位移:3

振幅:1

期: $\pi$

相移: $2\pi$

垂直位移:3

振幅:1

期: $2\pi$

相移: $\pi$

垂直位移:0

振幅:1

期: $\pi$

相移: $\pi$

垂直位移:3

正确答案:

振幅:1

期: $2\pi$

相移: $\pi$

垂直位移:3

解释：

理解三角函数的所有变换的常用方法如下所示。对于方程y = asin (Bx + C) + D，

振幅是|的|
周期是2 $\pi$ B / | |
相移为-C / B
垂直位移为D

在我们的方程中，A=-1, B=1, C=- $\pi$ ， D=3。接下来，应用上述数字来找到振幅、周期、相移和垂直移动。

要找到振幅，看正弦函数前面的系数。A=-1，所以振幅等于1。

周期是2 $\pi$ /B，这里B=1。因此这个函数的周期等于2 $\pi$ ．

求相移，取-C/B，或者 $\pi$ ．另一种求相同值的方法是将括号内设为0，然后解出x。
x - $\pi$ = 0
x = $\pi$
不管怎样，相移等于 $\pi$ ．

竖直位移等于D，也就是3。

例子问题2:三角函数的振幅，周期，相移

说明函数的振幅、周期、相移和垂直位移 $y=\sin(2x-3)+2$

可能的答案:

振幅:1

期: $\pi$

相移:3/2

垂直位移:2

振幅:1

期:3/2

相移: $\pi$

垂直位移:2

振幅:1

期: $\pi$

相移:-3/2

垂直位移:-2

振幅:1

期: $\pi$

相移:-3/2

垂直位移:2

正确答案:

振幅:1

期: $\pi$

相移:3/2

垂直位移:2

解释：

理解三角函数的所有变换的常用方法如下所示。对于方程y = asin (Bx + C) + D，

振幅是|的|
周期是2 $\pi$ B / | |
相移为-C / B
垂直位移为D

在我们的方程中，A=1, B=2, C=-3, D=2。接下来，应用上述数字来找到振幅、周期、相移和垂直移动。

要找到振幅，看正弦函数前面的系数。A=1，所以振幅等于1。

周期是2 $\pi$ /B，这里B=2。所以这个函数的周期等于 $\pi$ ．

求相移，取-C/B或3/2。另一种求相同值的方法是将括号内设为0，然后解出x。
2 - 3 = 0
2 x = 3
x = 3/2
不管怎样，相移等于3/2。

竖直位移等于D，也就是2。

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