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偏微分方程:偏微分方程简介

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例子问题

例子问题1:偏微分方程

求解边值问题。

$\\y'+16y=0 \\y(0)=-4 \\\\y\left(\frac{\pi}{2} \right )=5$

可能的答案:

$y(x)=-4\cos(16x)+5\sin(16x)$

$y(x)=-4\cos(4x)+5\sin(4x)$

$y(x)=5\cos(4x)-4\sin(4x)$

$y(x)=4\cos(4x)-5\sin(4x)$

$y(x)=-5\cos(4x)+4\sin(4x)$

正确答案:

$y(x)=-4\cos(4x)+5\sin(4x)$

解释：

为了解决这个边值问题回想一下这类导数的通解是，

$\\y'+ay=0 \\y(x)=c_1\cos(\sqrt{a}x)+c_2\sin(\sqrt{a}x)$

因此，方程变成

$y(x)=c_1\cos(4x)+c_2\sin(4x)$

从这里，应用边界条件来求解常数 c_1 而且 c_2

$\\-4=y(0)=c_1 \\\\5=y\left(\frac{\pi}{2} \right )=c_2$

从而得到解，

$y(x)=-4\cos(4x)+5\sin(4x)$

报告错误

例子问题2:初值和边值问题

求解边值问题。

$\\y'+9y=0 \\y(0)=-7 \\\\y\left(\frac{\pi}{2} \right )=2$

可能的答案:

$y(x)=-3\cos(7x)+3\sin(2x)$

$y(x)=-7\cos(3x)-2\sin(3x)$

$y(x)=-7\cos(3x)+2\sin(3x)$

$y(x)=7\cos(3x)+2\sin(3x)$

$y(x)=-2\cos(3x)+7\sin(3x)$

正确答案:

$y(x)=-7\cos(3x)+2\sin(3x)$

解释：

为了解决这个边值问题回想一下这类导数的通解是，

$\\y'+ay=0 \\y(x)=c_1\cos(\sqrt{a}x)+c_2\sin(\sqrt{a}x)$

因此，方程变成

$y(x)=c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)$

从这里，应用边界条件来求解常数 c_1 而且 c_2

$\\-7=y(0)=c_1 \\\\2=y\left(\frac{\pi}{2} \right )=c_2$

从而得到解，

$y(x)=-7\cos(3x)+2\sin(3x)$

报告错误

例子问题1:Pd Es简介

判断这个陈述是对还是错:

波动方程最多只有一个解。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

根据唯一性定理，这个说法是正确的。

$\\u_{tt}=c^2u_{xx}, 0<x<1, t>0 \\\text{Initial Conditions: }u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x), 0\leq x\leq l \\\text{Boundary Conditions: }u(0,t)=0, u(l,t)=0, t\geq 0$

u(x,t) 二次微分方程是用的吗而且．

现在，考虑能量积分

$E(t)=\frac{1}{2}\int_0^l(c^2u^2_x+u^2_t)\ dx$

分部积分后得到:

$\int_0^lc^2u_xu_{xt}\ dx=[c^2u_xu_t]_0^l-\int_0^lc^2u_tu_{xx}\ dx$

从这里开始，应用初始条件和边界条件。

$\\\frac{dE}{dt}=\int_0^l u_t(u_{tt}-c^2u_{xx})\ dx \\\\\frac{dE}{dt}=0 \\\\E(t)=C$

因此,

u_1(x,t)=u_2(x,t)=u(x,t)

证明了波动方程只有一个解，因此是唯一的。

报告错误

例子问题1:偏微分方程

守恒定律是怎样写成偏微分方程的?

可能的答案:

$\frac{\partial F}{\partial t}+\bigtriangledown U=S$

$\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown S=F$

$\int_{\partial \wp } U dx+\int_{\partial \wp} F(U)n\ ds=\int_\wp S(U,t)\ dx$

$\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown F=S$

$\int_{\partial \wp } U dx+\int_{\partial \wp} F(U)n\ ds$

正确答案:

$\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown F=S$

解释：

将散度定理应用于守恒方程，得到了用偏微分方程表示的守恒定律。

守恒方程是，

$\frac{d}{dt}\int_\wp U\ dx +\int_{\partial \wp} F(U)n\ ds=\int_\wp S(U,t)\ dx$

现在回想一下散度定理，

$\int_{\partial \wp}Fn\ ds=\int_{\wp}\bigtriangledown F\ dx$

因此，通过替换

$\int_{\partial \wp} Fn\ ds$ 为 $\int_{\partial \wp} F(U)n\ ds$ 结果,

$\frac{d}{dt}\int_\wp U\ dx+\int_{\partial \wp}Fn\ ds=\int_\wp S\ dx$

从这里开始，重写这个方程把导数带入积分中并代入

$\int_{\partial \wp} Fn\ ds=\int_\wp \bigtriangledown F\ ds$ ，

执行一些代数运算会得到，

$\int_\wp \left(\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown F-S \right )dx=0$

在对域积分之后 $\wp$ 得到的偏微分方程是，

$\frac{\partial U}{\partial t}+\bigtriangledown F=S$

报告错误

例子问题1:偏微分方程

下面这个偏微分方程的阶数是多少?

$u_{xx}+2u_{xy}+\frac{7}{5}u_{yy}=10y$

可能的答案:

三阶

一阶

线性

二阶

准线性

正确答案:

二阶

解释：

就像常微分方程一样，偏微分方程可以用它们的顺序来描述。

方程的阶数由方程的最高阶偏导数来定义。

看一下这个方程，

$u_{xx}+2u_{xy}+\frac{7}{5}u_{yy}=10y$

偏导数为:

$\\u_{xx} \\u_{xy} \\u_{yy}$

注意每个偏导数包含两个变量，因此这个方程是一个二阶偏微分方程。

报告错误

例子问题2:偏微分方程

下面这个偏微分方程的阶数是多少?

$u_{xyz}+u_{xy}+\frac{10}{3}=10y$

可能的答案:

线性

二阶

准线性

三阶

一阶

正确答案:

三阶

解释：

就像常微分方程一样，偏微分方程可以用它们的顺序来描述。

方程的阶数由方程的最高阶偏导数来定义。

看一下这个方程，

$u_{xyz}+u_{xy}+\frac{10}{3}=10y$

偏导数为:

$\\u_{xyz} \\u_{xy}$

注意其中一个偏导数包含三个变量，因此这个方程是一个三阶偏微分方程。

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例子问题1:自然保护法衍生品

下面哪项描述了双谐波方程的物理现象?

可能的答案:

$\bigtriangledown^2u=f(x,y,z)$

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$

$u_t-k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$

$u_{tt}-c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$

正确答案:

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$

解释：

在处理偏微分方程时，物理世界中的一些现象在数学世界中有与之相关的特定方程。

看看下面可能的答案，找出每个答案所代表的物理现象。

$u_t-k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$ 就是热方程。

$u_{tt}-c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0$ 就是波动方程。

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$ 就是拉普拉斯方程。

$\bigtriangledown^2u=f(x,y,z)$ 就是泊松方程。

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$ 就是双谐波方程。

因此，双谐波方程的正确答案是

$u_{tt}+c^2\bigtriangledown^4u=0$

报告错误

例子问题3:偏微分方程

下面这个偏微分方程的阶数是多少?

$u_{xyz}+u_{xy}=e^y$

可能的答案:

二阶

三阶

一阶

吸

均匀

正确答案:

三阶

解释：

就像常微分方程一样，偏微分方程可以用它们的顺序来描述。

方程的阶数由方程的最高阶偏导数来定义。

看一下这个方程，

$u_{xyz}+u_{xy}=e^y$

偏导数为:

$\\u_{xyz} \\u_{xy}$

注意其中一个偏导数包含三个变量，因此这个方程是一个三阶偏微分方程。

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