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多元微积分:曲面的三重积分

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例子问题

例子问题1:散度，梯度和旋度

计算下面向量场的旋度。

$\vec{F}=x^3y^2\ \vec{i}+x^2y^3z^4\ \vec{j}+x^2z^2\ \vec{k}$

可能的答案:

$curl\ \vec{F}=0$

$curl\ \vec{F}=\Big(2x^2z^3\Big)\vec{i}-\Big(2yz^2\Big)\vec{j}-\Big(-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(-2xy^3z^4+2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(2x^2z^3\Big)\vec{i}+\Big(2yz^2\Big)\vec{j}+\Big(-2x^3y\Big)\vec{k}$

正确答案:

$curl\ \vec{F}=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

解释：

为了计算旋度，我们需要回忆公式。

$\\curl\ \vec{F}=\triangledown \times \vec{F}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\\ \\ \\ =\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\ \Big)\vec{i}+\Big(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\ \Big)\vec{j}+\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\ \Big)\vec{k}$

在哪里，,对应于给定向量场的分量: $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$

现在让我们把它应用到我们的情况中。

$curl\ \vec{F}=\triangledown \times \vec{F}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\\ x^3y^2 & x^2y^3z^4 & x^2z^2 \end{vmatrix}$

$\\=\Big(\frac{\partial }{\partial y}\Big(x^2z^2\Big)-\frac{\partial}{\partial z}\Big(x^2y^3z^4\Big)\ \Big)\vec{i}+\Big(\frac{\partial}{\partial z}\Big(x^3y^2\Big)-\frac{\partial}{\partial x}\Big(x^2z^2\Big)\ \Big)\vec{j}+\Big(\frac{\partial}{\partial x}\Big(x^2y^3z^4\Big)-\frac{\partial}{\partial y}\Big(x^3y^2\Big)\ \Big)\vec{k}$

$=\Big(0-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(0-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

因此旋度是

$=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

报告错误

例子问题2:散度，梯度和旋度

计算 $div\vec{F}$ ,在那里 $\vec{F}=10x^2\ln(yz)\vec{i}+xyz\vec{j}+xz\ln(y)\vec{k}$ ．

可能的答案:

$div\vec{F}=20x\ln(yz)-xz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(z)+yz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)-xz-x\ln(y)$

$div\vec{F}=0$

正确答案:

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

解释：

我们要做的就是计算偏导数然后把它们加起来。

$div\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(10x^2\ln(yz))+\frac{\partial}{\partial y}(xyz)+\frac{\partial}{\partial z}(xz\ln(y))$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

报告错误

示例问题3:散度，梯度和旋度

计算下面向量场的旋度。

$\vec{F}=x^3y^2\ \vec{i}+x^2y^3z^4\ \vec{j}+x^2z^2\ \vec{k}$

可能的答案:

$curl\ \vec{F}=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(2x^2z^3\Big)\vec{i}+\Big(2yz^2\Big)\vec{j}+\Big(-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(-2xy^3z^4+2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(2x^2z^3\Big)\vec{i}-\Big(2yz^2\Big)\vec{j}-\Big(-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=0$

正确答案:

$curl\ \vec{F}=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

解释：

为了计算旋度，我们需要回忆公式。

在哪里，,对应于给定向量场的分量: $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$

现在让我们把它应用到我们的情况中。

$=\Big(0-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(0-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

因此旋度是

$=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

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示例问题4:散度，梯度和旋度

计算 $div\vec{F}$ ,在那里 $\vec{F}=10x^2\ln(yz)\vec{i}+xyz\vec{j}+xz\ln(y)\vec{k}$ ．

可能的答案:

$div\vec{F}=20x\ln(z)+yz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=0$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)-xz-x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)-xz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

正确答案:

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

解释：

我们要做的就是计算偏导数然后把它们加起来。

$div\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(10x^2\ln(yz))+\frac{\partial}{\partial y}(xyz)+\frac{\partial}{\partial z}(xz\ln(y))$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

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例子问题1:参数化与曲面积分

评估 $\int \int \int_D y \ dV$ ,在那里是平面下方的区域吗 z=x+1 ，在平面与圆柱体之间 x^2+y^2=1 , x^2+y^2=9 ．

可能的答案:

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

$2 \pi$

$\pi$

正确答案:

解释：

我们需要算出积分的边界。

我们需要把所有东西都转换成柱坐标。记住我们在上面平面，这意味着我们在上面 z=0 ．

$0\leq z \leq x+1 \rightarrow 0\leq z \leq r\cos(\theta)+1$

该地区在两个圆之间 x^2+y^2=1 , x^2+y^2=9 ．

这意味着

$0 \leq \theta \leq 2\pi$

$1\leq r \leq 3$

$\int \int \int_D y \ dV=\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} \int_{0}^{r\cos(\theta)+1} r\sin(\theta) r\ dz \ dr \ d\theta$

$=\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} \int_{0}^{r\cos(\theta)+1} r^2\sin(\theta) \ dz \ dr \ d\theta$

$=\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} zr^2\sin(\theta) \Big|_{0}^{r\cos(\theta)+1} \ dr \ d\theta$

$=\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} (r\cos(\theta)+1)r^2\sin(\theta)-0 \ dr \ d\theta$

$=\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} r^3\sin(\theta)\cos(\theta)+r^2\sin(\theta) \ dr \ d\theta$

$=\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}r^4\sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1}{3}r^3\sin(\theta) \Big|_{1}^{3}\ d\theta$

$=\int_{0}^{2\pi} (\frac{1}{4}(3)^4\sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1}{3}(3)^3\sin(\theta))-(\frac{1}{4}(1)^4\sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1}{3}(1)^3\sin(\theta)) \ d\theta$

$=\int_{0}^{2\pi} (\frac{81}{4}\sin(\theta)\cos(\theta)+9\sin(\theta))-(\frac{1}{4}\sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1}{3}\sin(\theta)) \ d\theta$

$=\int_{0}^{2\pi} 20\sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{26}{3}\sin(\theta) \ d\theta$

$= -\frac{1}{2}\cdot20\cos^2(\theta)-\frac{26}{3}\cos(\theta)\Big|_{0}^{2\pi}$

$= -\frac{1}{2}\cdot20\cos^2(2\pi)-\frac{26}{3}\cos(2\pi)-(-\frac{1}{2}\cdot20\cos^2(0)-\frac{26}{3}\cos(0))$

$= -\frac{1}{2}\cdot20(1)-\frac{26}{3}(1)-(-\frac{1}{2}\cdot20(1)-\frac{26}{3}(1))$

$= -10-\frac{26}{3}-(-10-\frac{26}{3})=0$