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多元微积分:切线与法线

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例子问题

例子问题1:切线、法线

求出切平面的方程 $z=\ln(4x^3+10y^2)$ 在 z=(0,5) ．

可能的答案:

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}$

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y+\ln(254)$

$z=-\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}-\ln(254)$

$z=\frac{6}{127}x-\frac{50}{127}y+\frac{256}{127}+\ln(254)$

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}+\ln(254)$

正确答案:

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}+\ln(254)$

解释：

首先，我们需要求关于的偏导,，代入 z=(1,5) ．

$f(x,y)=\ln(4x^3+10y^2)$ ， $f(0,5)=\ln(4(1)^3+10(5)^2)=\ln(254)$

$f_x(x,y)=\frac{12x^2}{4x^3+10y^2}$ ， $f_x(0,5)=\frac{12(1)^2}{4(1)^3+10(5)^2}=\frac{12}{254}=\frac{6}{127}$

$f_y(x,y)=\frac{20y}{4x^3+10y^2}$ ， $f_y(0,5)=\frac{20(5)}{4(1)^3+10(5)^2}=\frac{100}{254}=\frac{50}{127}$

记住切平面的一般方程如下:

z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

现在我们把它应用到我们的问题上

$z-\ln(254)=\frac{6}{127}(x-1)+\frac{50}{127}(y-5)$

$z=\frac{6}{127}(x-1)+\frac{50}{127}(y-5)+\ln(254)$

$z=\frac{6}{127}x-\frac{6}{127}+\frac{50}{127}y-\frac{250}{127}+\ln(254)$

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}+\ln(254)$

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例子问题2:切线、法线

求出切平面的方程 $z=\ln(4x^3+10y^2)$ 在 z=(1,5) ．

可能的答案:

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y+\ln(254)$

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}+\ln(254)$

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}$

$z=\frac{6}{127}x-\frac{50}{127}y+\frac{256}{127}+\ln(254)$

$z=-\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}-\ln(254)$

正确答案:

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}+\ln(254)$

解释：

首先，我们需要求关于的偏导,，代入 z=(1,5) ．

$f(x,y)=\ln(4x^3+10y^2)$ ， $f(1,5)=\ln(4(1)^3+10(5)^2)=\ln(254)$

$f_x(x,y)=\frac{12x^2}{4x^3+10y^2}$ ， $f_x(1,5)=\frac{12(1)^2}{4(1)^3+10(5)^2}=\frac{12}{254}=\frac{6}{127}$

$f_y(x,y)=\frac{20y}{4x^3+10y^2}$ ， $f_y(1,5)=\frac{20(5)}{4(1)^3+10(5)^2}=\frac{100}{254}=\frac{50}{127}$

记住切平面的一般方程如下:

z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

现在我们把它应用到我们的问题上

$z-\ln(254)=\frac{6}{127}(x-1)+\frac{50}{127}(y-5)$

$z=\frac{6}{127}(x-1)+\frac{50}{127}(y-5)+\ln(254)$

$z=\frac{6}{127}x-\frac{6}{127}+\frac{50}{127}y-\frac{250}{127}+\ln(254)$

$z=\frac{6}{127}x+\frac{50}{127}y-\frac{256}{127}+\ln(254)$

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