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多变量微积分:弧长

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例子问题

例子问题1:弧长

确定曲线的长度 $\vec{r}(t)=\left \langle t,4\sin(2t),4\cos(2t)\right \rangle$ ，在间隔时间 $0\leq t\leq 2\pi$ ．

可能的答案:

$\pi$

$\sqrt{65}$

$2\pi\sqrt{65}$

$2\pi$

正确答案:

$2\pi\sqrt{65}$

解释：

首先我们需要求出切向量，求出它的大小。

$\vec{v}(t)=\vec{r}\ '(t)=\left \langle 1, 8\cos(2t), -8\sin(2t)\right \rangle$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1^2+(8\cos(2t))^2+(-8\sin(2t))^2}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+64\cos^2(2t)+64\sin^2(2t)}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+64(\cos^2(2t)+\sin^2(2t))}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}$

现在我们可以建立弧长积分

$L=\int_{a}^{b}\left \| \vec{v}(t)\right \|dt$

$L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{65}\ dt=t\sqrt{65}\Big|_{0}^{2\pi}=2\pi\sqrt{65}$

报告错误

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可能的答案:

$\sqrt{65}$

$\pi$

$2\pi\sqrt{65}$

$2\pi$

正确答案:

$2\pi\sqrt{65}$

解释：

首先我们需要求出切向量，求出它的大小。

$\vec{v}(t)=\vec{r}\ '(t)=\left \langle 1, 8\cos(2t), -8\sin(2t)\right \rangle$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1^2+(8\cos(2t))^2+(-8\sin(2t))^2}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+64\cos^2(2t)+64\sin^2(2t)}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+64(\cos^2(2t)+\sin^2(2t))}$

$\left \| \vec{v}(t)\right \|=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}$

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常用备考

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