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MCAT物理:能量守恒

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例子问题

问题1:能量守恒

一个质量为2公斤的球从30米高的建筑物顶部落下。当球离地面10m的时候，它的大概速度是多少?

可能的答案:

20米/秒

30米/秒

25米/秒

14米/秒

10米/秒

正确答案:

20米/秒

解释：

利用能量守恒定律。当球从30米下落到10米时失去的重力势能等于获得的动能。

重力势能的变化可以用mgh的差来求。 $mgh_{f} - mgh_{i} = 2kg*10\frac{m}{s^{2}}*10m - 2kg*10\frac{m}{s^{2}}*30m = -400 Joules$

所以400焦耳从重力势转化为动能，这样我们就能解出速度v。

$400焦耳= \frac{1}{2}mv^{2}$

$400 = v^{2}$

$V = 20m /s$

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问题41:工作、能量和动力

考虑一个进行简谐运动的弹簧。当弹簧处于最大速度时__________。

可能的答案:

动能和势能都达到最大值

动能最小，势能最大

动能最大，势能最小

动能和势能最小

正确答案:

动能最大，势能最小

解释：

弹簧运动最快时，动能最大。相反，当弹簧被压缩得最紧，并且暂时静止时，势能最高。当压缩产生的力使弹簧伸长时，势能随着速度的增加而减小。

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问题1:能量守恒

一个质量为405公斤的钟摆的最大高度为2.4米。它在路径最底层的速度是多少?

可能的答案:

17米/秒

48米/秒

4.5米/秒

6.9米/秒

正确答案:

6.9米/秒

解释：

首先求出摆在2.4m高度处的势能。

PE = mgh

PE = (405kg)(10m/s²)(2.4m) = 9720J

这一定等于物体的最大动能。

KE =½mv²

j = 1 / 2mv²

代入物体的质量(405kg)，求出v。

9720J =½(405kg)v²

V = 6.9m/s

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问题4:能量守恒

两个孩子在积雪覆盖的山上玩雪橇。萨姆重50公斤，他的雪橇重10公斤。莎莉重40公斤，她的雪橇重12公斤。当他们到达时，他们用靴子爬上山。爬到50米高的半山腰时，莎莉滑倒了，滚回谷底。山姆继续往上爬，最后莎莉和他一起爬到了山顶。

然后他们决定滑雪下山，但在谁先走的问题上意见不一。

场景1:

山姆先下山，声称他会达到更高的速度。如果莎莉先走，山姆说他们可能会相撞。

场景2:

莎莉先下山，声称她会经历更小的摩擦，从而达到更高的速度。如果山姆先走，莎莉说他们可能会相撞。

场景3:

由于无法达成一致，山姆和莎莉用一根绳子系住自己，一起下去了。

在邻近的山脚下，一个邻居看着萨莉和萨姆下山。莎莉的速度是15m/s，山姆的速度是10m/s。从邻居开始观察的那一刻起，直到他们都停下来，谁以摩擦的形式散发了更多的热量?(假设所有的摩擦都以热量的形式损失掉了)。

可能的答案:

山姆，因为他更有动力

山姆，因为他有更大的动能

它们的耗散量相等，因为两者的摩擦系数是一样的

莎莉，因为她有更大的动能

莎莉，因为她没有动力

正确答案:

莎莉，因为她有更大的动能

解释：

在这个例子中，Sally的动能比Sam的大。从邻居开始观察的那一刻起，我们就可以计算动能。一旦停止，所有的动能都会消散。

Sally的KE = 1/2(52公斤)(15米/秒)²j = 5850

Sam的KE = 1/2 (60kg) (10m/s)²j = 3000

在山姆和莎莉停下来之前，所有这些能量都会以摩擦的形式消散。

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问题1:能量守恒

忽略空气阻力，关于钟摆的运动，下列哪项是正确的?

可能的答案:

在振荡的底部，势能最小，动能最小

在振荡的底部，势能最小，动能最大

在振荡的底部，势能最大，动能最大

在振荡的底部，势能最大，动能最小

正确答案:

在振荡的底部，势能最小，动能最大

解释：

能量一定是通过钟摆的运动而守恒的。设点1表示振荡的底部，点2表示振荡的顶部。在点1，没有势能，用点1作为我们的“地面/参考”，因此所有的系统能量都是动能。在点2，速度为零;因此，动能为零，系统能量全部为势能。在摆动的最高点，势能最大，在摆动的最低点，动能最大。

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问题6:能量守恒

一个 50kg 巨石从一个 100m 悬崖。求它的速度之前的影响。

$\small g=10\frac{m}{s^2}$

可能的答案:

$10\frac{m}{s}$

$16\frac{m}{s}$

$22.5\frac{m}{s}$

$43\frac{m}{s}$

$50\frac{m}{s}$

正确答案:

$43\frac{m}{s}$

解释：

根据能量守恒定律，初始能量和最终能量相等。

$PE_{i} + KE_{i} = PE_{f} + KE_{f}$

在这种情况下，巨石开始时动能为零，结束时动能和势能都为零。

$mgh_i+\frac{1}{2}mv_i^2=mgh_f+\frac{1}{2}mv_f^2$

$mgh_i+\frac{1}{2}m(0\frac{m}{2})^2=mgh_f+\frac{1}{2}mv_f^2$

$mgh_i=mgh_f+\frac{1}{2}mv_f^2$

我们可以从每一项中消去质量代入给定的值来解高度处的速度 $\small 7m$ 。

$(10\frac{m}{s^2})(100m)=(10\frac{m}{s^2})(7m)+\frac{1}{2}v_f^2$

$930\frac{m^2}{s^2}=\frac{1}{2}v_f^2$

$1860\frac{m^s}{s^2}=v_f^2$

$43\frac{m}{s}=v_f$

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问题1:能量守恒

一块木头漂浮在太空中。一颗子弹从枪中射出，击中木块，将自己嵌入木头中并产生热量。下面哪个是守恒的?

可能的答案:

动力

温度

机械能

动能

正确答案:

动力

解释：

当一个系统没有外力时，动量总是守恒的。

如果两个物体在碰撞发生后粘在一起，例如子弹嵌入木材中，则可以识别为非弹性碰撞。在非弹性碰撞中，动能不守恒。因为机械能是动能和势能的总和，所以机械能也不守恒。这种不守恒是由于一些动能转化为热能和声音。动能随热能的增加而减小，导致温度不恒定。

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问题8:能量守恒

从给定的高度扔下一块石头，让它落地。岩石的速度是在撞击地面时测量的。假设没有空气阻力。

为了使岩石的速度在撞击前增加一倍，下列哪项是必要的?

可能的答案:

两倍于石头落点的高度

将石头落下的高度降低75%

是石头下落高度的四倍

将石块落点的高度降低25%

是石块下落高度的一半

正确答案:

是石头下落高度的四倍

解释：

我们可以通过比较势能和动能的方程来比较高度和速度。这是可能的，因为岩石最初没有动能(速度为零)，在撞击时也没有势能(高度为零)。使用能量守恒定律将得到下面的比较。

$mgh = \frac{1}{2}mv^{2}$

因为在动能方程中速度是平方的，所以需要高度翻四倍才能使速度翻倍。

$mg(xh) = \frac{1}{2}m(2v)^{2}$

$mg(xh)=\frac{1}{2}m4(v)^2$

x=4

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问题1:能量守恒

一块质量为m的石头坐落在高度为h的山上。当它滚下山时，下列哪项是正确的?

在半山腰， $\dpi{100} \小PE=\frac{1}{2}mgh$
在半山腰， $\dpi{100} \小PE=\frac{1}{4}mgh$
在半山腰， $\dpi{100} \小PE=mg\sqrt{h}$
在半山腰，PE仍然等于mgh。
这些都不是真的。

可能的答案:

正确答案:

解释：

4.选项1是正确的，因为最初，石头中所有的机械能都是势能，没有动能:ME = KE + PE。PE通过把石头滚上山来“储存”在石山系统中。很明显，把石头滚到半山腰和把它滚到山顶相比，只需要一半的能量。在山的底部，所有的PE将被转换成KE，由公式给出 $\dpi{100} \小KE=\frac{1}{2}mv^{2}$

因为把石头滚到半山腰时的PE是½mgh，所以它滚下山时的PE也是½mgh。

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问题10:能量守恒

一辆空矿车的质量为 15kg 沿着斜率为的轨道运动 $40^{\circ}$ 到水平方向。马车以…的速度行驶 $10\frac{m}{s}$ 当操作员注意到前方轨道上有扰动并锁住车轮时。马车行驶后的速度是多少 20m 车轮被锁住了?

$\mu_s = 0.6,\ \mu_k=0.3$

$g=10\frac{m}{s^2}$

可能的答案:

$16.3\frac{m}{s}$

$6.8\frac{m}{s}$

$4.7\frac{m}{s}$

$8.3\frac{m}{s}$

$13.2\frac{m}{s}$

正确答案:

$16.3\frac{m}{s}$

解释：

我们需要这个问题的能量守恒方程:

E= U_i+K_i = U_f + K_f +F

我们可以消去最终势能，如果我们设最终高度为0。我们要求的是最终速度，所以我们重新安排一下最终动能。

K_f = U_i+K_i-F

将方程代入每个变量，得到:

$\frac{1}{2}mv_f^2 = mgh_i + \frac{1}{2}mv_i^2 - \mu_kNd$

重新安排最终速度，我们得到:

$v_f = \sqrt{2gh_i+v_i^2-\frac{2\mu_kNd}{m}}$

如果你推导出这个公式，但不确定你的功，只需检查你的单位。平方根下每一项的单位是 $\frac{m^2}{s^2}$ ，最终得到的单位是 $\frac{m}{s}$ ，这正是我们想要的。

我们有所有变量的值，除了两个:高度和法向力。

我们来计算一下高度。我们知道在初始状态和最终状态之间，小车沿着40度的斜坡走了20米。因此，我们可以用公式来计算高度:

$sin(40^{\circ})=\frac{h_i}{20 m}$

h_i=(20m)sin(40^o)

h_i = 12.856 m

现在我们只需要求法向力。下面的图表将帮助可视化这个计算。

如果你不确定是用正弦还是余弦，实际考虑一下。随着角度越来越小，法向力就会变大。这是余弦函数的特征。

因此，我们可以说:

$N = mgcos(40^{\circ}) = (15kg)(10\frac{m}{s^2})cos(40^{\circ})= 114.9 N$

现在我们已经有了所有的变量，是时候进行插拔了:

$v_f=\sqrt{(2\cdot10\cdot12.856)+(10)^2-\frac{2\cdot0.3\cdot114.9\cdot20}{15}}$

$v_f=\sqrt{257.1+100-91.9} = 16.3 \frac{m}{s}$

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