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数学建模:概率模型

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例子问题

例子问题1:数学建模

一家美容用品公司生产各种刷子。质量控制工程师的工作是确保在工厂中有缺陷的刷子在发货前被检测到。估计大约有0.2%的刷子会有缺陷。可以对刷子单独进行测试，也可以对刷子进行批量测试。如果对一批刷子的测试失败，这意味着该特定批次中的一个或多个刷子有缺陷。估计每把刷子要4美分，而且 3+n 几分钱给一群 n>1 刷子。如果一个批处理失败，那么该批处理中的所有刷都必须单独测试。找出检测有缺陷刷子的最具成本效益的质量控制程序。

可能的答案:

通过测试刷子批次在20组将减少测试成本而不牺牲质量。

通过测试刷子批次在15组将减少测试成本而不牺牲质量。

通过测试刷子批次在9组将减少测试成本而不牺牲质量。

通过测试刷子批次在10组将减少测试成本而不牺牲质量。

通过测试刷子批次在12组将减少测试成本而不牺牲质量。

正确答案:

通过测试刷子批次在15组将减少测试成本而不牺牲质量。

解释：

首先确定已知的变量和假设。

$\\n=\text{number of brushes per test batch} \\C=\text{testing cost for one group(cent)} \\A=\text{average testing cost (cents/brush)}$

如果

$n=1\rightarrow A=4$

如果测试了一批刷子，如果测试表明所有的刷子都是好的，那么，

$n>1\rightarrow C=3+n$

如果批量测试显示在批量中有一个有缺陷的刷子，那么，

$A=\text{(Average value of C)}/n$

使用离散概率模型找到最具成本影响的质量控制程序，以检测有缺陷的刷子。

考虑随机变量

$X\epsilon\begin{Bmatrix} x_1, x_2, x_3,... \end{Bmatrix}$

它的概率是

$\text{Pr}\begin{Bmatrix} X=x_i \end{Bmatrix}=p_i$

$\\\Sigma p_i=1 \\EX=\Sigma x_ip_i$

如果刷子是好的概率是那么刷子被损坏的概率是 1-p ．的平均期望值如下:

EC=(3+n)p+[(3+n)+4n](1-p)

现在有刷子和一个刷子有缺陷的概率是 0.002 因此假定独立，假定一切的可能性一个测试组的刷子是好的 p=0.998^n ．

因此随机变量的期望值是,

$\\EC=(3+n)0.998^n+[(3+n)+4n](1-0.998^n) \\EC=(3+n)+4n(1-0.998^n) \\EC=3+5n-4n(0.998^n)$

因此平均测试成本为:

$A=\frac{3}{n}+5-4(0.998)^n$

利用大数最小化定律结果

A=1.31, n=15

现在回答问题。

通过测试刷子批次在15组将减少测试成本而不牺牲质量。

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例子问题2:数学建模

在一个小镇上游12公里处的一家工厂发生了石油泄漏。在泄漏发生一小时后，它到达了小溪，1600米长的油块开始以每小时2公里的速度流向小镇。水中油的最高浓度是可接受水平的15倍。预计城里的最大浓度是多少?什么时候会到达?

可能的答案:

P=6.10, t=5.4

P=6.12, t=6

P=6.12, t=5

P=6.15, t=6.7

P=6.14, t=6.3

正确答案:

P=6.12, t=6

解释：

确定已知的内容和假设。

这是一个扩散问题，因此将使用带有相对浓度项的扩散方程。

相对浓度记为

$\\C(x,t) \\x=\text{location of oil} \\t=\text{time}$

这个函数经过规范化处理后得到如下结果。

$\int C(x,t)dx=1$

质量守恒定律在解决这个问题时也会很有用。

$\frac{\partial C}{\partial t}=-\frac{\partial q}{\partial x}$

$\\t=\text{Time since release of oil} \\\mu=\text{Distance travelled by the patches center} \\x=\text{Distance between patches center and town} \\s=\text{Patches spread at time t} \\\\ \mu=2t \\x=12-\mu \\P=15, t=1 \\s=1600, t=1$

目的是计算出城镇的最大污染水平。

扩散方程是，

$\frac{\partial C}{\partial t}=\frac{D}{2}\frac{\partial ^2C}{\partial x^2}$

利用傅里叶变换求解扩散方程如下。

$\hat C(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}C(x,t)dx$

$\frac{d \hat C}{dt}=\frac{D}{2}(ik)^2 \hat C=-\frac{D}{2} k^2\hat C$

$C(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}} e^{-\frac{x^2}{2Dt}}$

对于这个特定函数

$\mu =2, \sigma=0.500$

所以区间是

$\mu + 2\sigma\rightarrow s=4\sigma$

$D=\sigma^2=0.25$ $C(x,t)=\frac{1}{\sqrt{0.5 \pi t}}e^{-\frac{x^2}{0.5t}}$

$P=15=P_0\frac{1}{\sqrt{0.5\pi }}e^{-\frac{0}{0.5}}$

计算鉴于 P_0

$\\P=P_0C \\ P_0=15\sqrt{0.5\pi} \\\\P=\frac{15}{\sqrt{t}}e^{-\frac{(12-2t)^2}{(0.5t)}}$

现在找出时间上的最大值。

P=6.12, t=6

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例子问题1:马尔可夫链和过程

一家电脑公司有一个维修人员，车间里有29台电脑的空间。去年，这家店修理了67台电脑，平均每台电脑的修理时间为2天。的马尔可夫过程模型 X_t 哪一个代表商店里待修理的电脑数量月，计算 EX_t ．

可能的答案:

$EX_t\approx 1.037$

$EX_t\approx 1.307$

$EX_t\approx 1.133$

$EX_t\approx 1.067$

$EX_t\approx 1.036$

正确答案:

$EX_t\approx 1.037$

解释：

利用马尔可夫过程，假设空间是有限的。

$X_t\epsilon\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,...,m \end{Bmatrix}$

从概率的角度决定过程未来的随机过程定义如下。

让

$T_i=\text{time spent in state }i$

$Pr{\begin{Bmatrix} T_i>t+s|T_i>s \end{Bmatrix}}=Pr\begin{Bmatrix} T_i>t \end{Bmatrix}$

回想一下指数分布，因此 T_i 可以有密度函数，

$F_i(t)=\lambda_ie^{-\lambda_it}$

现在专门为这个问题制定马尔可夫过程。

$X_t\epsilon\begin{Bmatrix} 0,1,2,..., 29\end{Bmatrix}$

电脑进出车间的过渡是，

X_t=i 来 X_t=i+1 或 X_t=i-1

现在计算上下速率。

计算 $\lambda$ 用去年修理的电脑总数除以这一年的月数。计算 $\mu$ 假设一个月有22个工作日，修理一台电脑平均需要两天时间。

$\\\lambda=5.6 \\\mu=11$

关键是要知道，在0岁时，我们不能往下移动一个状态，同样，在29岁时，我们也不能向上移动一个状态。

$[\text{Rate In}]=[\text{Rate Out}]$

$\\\lambda P_0=\mu P_1 \\(\mu +\lambda)P_1=\lambda P_0+\mu P_1 \\(\mu +\lambda)P_2=\lambda P_2+\mu P_3\\ \begin{matrix} .\\ .\\ . \end{matrix} \\\mu P_{29}=\lambda P_{28}$

解决与

$\sum P_i=1$

$EX_t=\sum iP_i$

继续这种方式会导致以下结果。

$\\P_n=(\lambda / \mu)P_{n-1} \\P_n=(\lambda / \mu)^nP_0 \\\\\sum_{n=0}^{29}P_n=P_0\sum_{n=0}^{29}\left(\frac{\lambda}{\mu} \right )^n=1 \\\\P_0=\frac{1-\rho }{1-\rho^{30}}$

现在，写出一个有限几何级数的和

$P_n=\rho^nP_0=\frac{\rho^n(1-\rho)}{1-\rho^{30}}$

现在

$\rho=\frac{\lambda}{\mu}=\frac{5.6}{11}=0.509$

因此,

$1-\rho^{30}=1-0.509^{30}\approx 0.9999999984$

接下来,

$Pr\begin{Bmatrix} X_t>0 \end{Bmatrix}=1-P_0=\rho\approx 0.509$

$\\EX_t=\sum_{n=0}^{29}nP_n \\EX_t=\sum_{n=0}^{29}n\rho^n(1-\rho) \\EX_t\approx 1.037$

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例子问题2:马尔可夫链和过程

一家电脑公司有一名维修人员，车间有同时容纳32台电脑的空间。去年，这家店修理了71台电脑，平均每台电脑的修理时间为3天。的马尔可夫过程模型 X_t 哪一个代表商店里待修理的电脑数量月，计算 EX_t ．

可能的答案:

$EX_t\approx 4.426$

$EX_t\approx 4.236$

$EX_t\approx 4.761$

$EX_t\approx 4.716$

$EX_t\approx 4.176$

正确答案:

$EX_t\approx 4.176$

解释：

利用马尔可夫过程，假设空间是有限的。

$X_t\epsilon\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,...,m \end{Bmatrix}$

从概率的角度决定过程未来的随机过程定义如下。

让

$T_i=\text{time spent in state }i$

$Pr{\begin{Bmatrix} T_i>t+s|T_i>s \end{Bmatrix}}=Pr\begin{Bmatrix} T_i>t \end{Bmatrix}$

回想一下指数分布，因此 T_i 可以有密度函数，

$F_i(t)=\lambda_ie^{-\lambda_it}$

现在专门为这个问题制定马尔可夫过程。

$X_t\epsilon\begin{Bmatrix} 0,1,2,..., 32\end{Bmatrix}$

电脑进出车间的过渡是，

X_t=i 来 X_t=i+1 或 X_t=i-1

现在计算上下速率。

计算 $\lambda$ 用去年修理的电脑总数除以这一年的月数。计算 $\mu$ 假设一个月有22个工作日，修理一台电脑平均需要两天时间。

$\\\lambda=5.9 \\\mu=7.3$

关键是要知道，在0岁时，我们不能往下移动一个状态，同样，在29岁时，我们也不能向上移动一个状态。

$[\text{Rate In}]=[\text{Rate Out}]$

$\\\lambda P_0=\mu P_1 \\(\mu +\lambda)P_1=\lambda P_0+\mu P_1 \\(\mu +\lambda)P_2=\lambda P_2+\mu P_3\\ \begin{matrix} .\\ .\\ . \end{matrix} \\\mu P_{32}=\lambda P_{31}$

解决与

$\sum P_i=1$

$EX_t=\sum iP_i$

继续这种方式会导致以下结果。

$\\P_n=(\lambda / \mu)P_{n-1} \\P_n=(\lambda / \mu)^nP_0 \\\\\sum_{n=0}^{32}P_n=P_0\sum_{n=0}^{32}\left(\frac{\lambda}{\mu} \right )^n=1 \\\\P_0=\frac{1-\rho }{1-\rho^{33}}$

现在，写出一个有限几何级数的和

$P_n=\rho^nP_0=\frac{\rho^n(1-\rho)}{1-\rho^{30}}$

现在

$\rho=\frac{\lambda}{\mu}=\frac{5.9}{7.3}=0.808$

因此,

$1-\rho^{33}=1-0.808^{33}\approx 0.9991198131$

接下来,

$Pr\begin{Bmatrix} X_t>0 \end{Bmatrix}=1-P_0=\rho\approx 0.808$

$\\EX_t=\sum_{n=0}^{32}nP_n \\EX_t=\sum_{n=0}^{32}n\rho^n(1-\rho) \\EX_t\approx 4.176$

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示例问题3:马尔可夫链和过程

一家电脑公司有一名维修人员，车间里有同时容纳23台电脑的空间。去年，这家店维修了51台电脑，每台电脑平均维修时间为5天。的马尔可夫过程模型 X_t 哪一个代表商店里待修理的电脑数量月，计算 EX_t ．

可能的答案:

$EX_t\approx 1.999$

$EX_t\approx 0.999$

$EX_t\approx 1.989$

$EX_t\approx 0.997$

$EX_t\approx 0.989$

正确答案:

$EX_t\approx 0.999$

解释：

利用马尔可夫过程，假设空间是有限的。

$X_t\epsilon\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,...,m \end{Bmatrix}$

从概率的角度决定过程未来的随机过程定义如下。

让

$T_i=\text{time spent in state }i$

$Pr{\begin{Bmatrix} T_i>t+s|T_i>s \end{Bmatrix}}=Pr\begin{Bmatrix} T_i>t \end{Bmatrix}$

回想一下指数分布，因此 T_i 可以有密度函数，

$F_i(t)=\lambda_ie^{-\lambda_it}$

现在专门为这个问题制定马尔可夫过程。

$X_t\epsilon\begin{Bmatrix} 0,1,2,..., 23\end{Bmatrix}$

电脑进出车间的过渡是，

X_t=i 来 X_t=i+1 或 X_t=i-1

现在计算上下速率。

计算 $\lambda$ 用去年修理的电脑总数除以这一年的月数。计算 $\mu$ 假设一个月有22个工作日，修理一台电脑平均需要两天时间。

$\\\lambda=2.2 \\\mu=4.4$

关键是要知道，在0岁时，我们不能往下移动一个状态，同样，在29岁时，我们也不能向上移动一个状态。

$[\text{Rate In}]=[\text{Rate Out}]$

$\\\lambda P_0=\mu P_1 \\(\mu +\lambda)P_1=\lambda P_0+\mu P_1 \\(\mu +\lambda)P_2=\lambda P_2+\mu P_3\\ \begin{matrix} .\\ .\\ . \end{matrix} \\\mu P_{23}=\lambda P_{22}$

解决与

$\sum P_i=1$

$EX_t=\sum iP_i$

继续这种方式会导致以下结果。

$\\P_n=(\lambda / \mu)P_{n-1} \\P_n=(\lambda / \mu)^nP_0 \\\\\sum_{n=0}^{23}P_n=P_0\sum_{n=0}^{23}\left(\frac{\lambda}{\mu} \right )^n=1 \\\\P_0=\frac{1-\rho }{1-\rho^{24}}$

现在，写出一个有限几何级数的和

$P_n=\rho^nP_0=\frac{\rho^n(1-\rho)}{1-\rho^{30}}$

现在

$\rho=\frac{\lambda}{\mu}=\frac{2.2}{4.4}=0.5$

因此,

$1-\rho^{24}=1-0.5^{24}\approx 0.9999999404$

接下来,

$Pr\begin{Bmatrix} X_t>0 \end{Bmatrix}=1-P_0=\rho\approx 0.5$

$\\EX_t=\sum_{n=0}^{23}nP_n \\EX_t=\sum_{n=0}^{23}n\rho^n(1-\rho) \\EX_t\approx 0.999$

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