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数学建模:多变量优化

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例子问题

例子问题1:多变量的优化

一家生产电脑显示器的公司将在今年春天推出两款新产品，一款15英寸的屏幕售价189美元，另一款19英寸的屏幕售价269美元。15英寸屏幕的生产成本为85美元/块，19英寸屏幕的生产成本为99美元/块，另外还有20万美元的杂项成本。每种屏幕类型的销售数量影响平均销售价格。据估计，每多卖出一块屏幕，每套产品的平均售价就会下降2美分。15英寸屏幕的平均售价每销售一块19英寸屏幕降低0.2美分，19英寸屏幕每销售一块15英寸屏幕降低0.3美分。用什么偏微分方程来找出每种类型的屏幕应该生产多少单元来优化利润?

可能的答案:

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.02x_2-0.005x_1=0$

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.005x_1-0.02x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.02x_2-0.005x_1=0$

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.005x_2-0.02x_1=0$

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.2x_1-0.05x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.002x_2-0.05x_1=0$

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=170-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=104-0.02x_2-0.005x_1=0$

正确答案:

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.02x_2-0.005x_1=0$

解释：

首先，确定所有已知的信息。

变量:

$\\s=\text{number of 15 inch screens (per year)} \\t=\text{number of 19 inch screens (per year)} \\p=\text{selling price for 15 inch screen} \\q=\text{selling price for 19 inch screen} \\C=\text{cost to manufacture} \\R=\text{revenue} \\P=\text{profit}$

假设:

$\\p=189-0.01s-0.002t \\q=269-0.003s-0.01t \\R=ps+qt \\C-200,000+85s+99t \\P=R-C \\s\geq0 \\t\geq0$

摘要目的:

最大化利润。

定理:如果是上的函数哪个是的子集 $\mathbb{R}^n$ 而且在内部点有最小值或最大值然后 $\bigtriangledown f=0$ ．

因此，要找到该函数中的最大值点，需要同时求解所述微分方程并检查边界点。

$\\P=R-C$

$\\=ps+qt-(200,000+85s+99t) \\=(189-0.01s-0.002t)(s)+(269-0.003s -0.01t)(t)-200,000-85s-99t$

现在转换变量/

$\\y=f(x_1,..,x_n) \\x_1=s \\x_2=t$

$\\=(189-0.01x_1-0.002x_2)(x_1)+(269-0.003x_1 -0.01x_2)(x_2)\\-200,000-85x_1-99x_2$

在

$s=\begin{Bmatrix} (x_1,x_2): x_1\geq0, x_2\geq 0 \end{Bmatrix}$

从这里取每个变量的偏微分方程。由于问题要求的是用于优化利润的偏微分方程，我们可以到此为止。

$\\\frac{\partial f}{\partial x_1}=104-0.02x_1-0.005x_2=0 \\\\\\\frac{\partial f}{\partial x_2}=170-0.02x_2-0.005x_1=0$

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