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一家美容用品公司生产各种各样的刷子。质量控制工程师致力于确保在出厂前检测到有缺陷的电刷。据估计，制造的电刷中约有0.2%存在缺陷。可以对刷子单独或批量进行测试。如果对一批电刷的测试失败，则表示该特定批次中的一个或多个电刷存在缺陷。单支刷子的估计成本为4美分，以及分一组刷子。如果一个批次失败，则该批次中的所有刷子必须单独测试。找出检测有缺陷电刷的成本影响最大的质量控制程序。
通过对15个批次的刷子进行测试，可以在不牺牲质量的情况下降低测试成本。
通过对10批刷子进行测试，可以在不牺牲质量的情况下降低测试成本。
通过以20个为一组测试刷子批次，可以在不牺牲质量的情况下降低测试成本。
通过以12个批次为一组进行测试，可在不牺牲质量的情况下降低测试成本。
通过以9个为一组对刷子批次进行测试，将在不牺牲质量的情况下降低测试成本。
首先确定已知的变量和假设。
如果
如果测试了一批电刷，并且测试表明所有电刷均良好，
如果批量测试显示该批次中存在缺陷电刷，
使用离散概率模型找出最具成本效益的质量控制程序，以检测有缺陷的刷子。
考虑随机变量
这有可能
如果刷子良好的概率为那么电刷被损坏的概率是．然后是期望值的平均值详情如下:
现在有了电刷和一个电刷出现缺陷的概率为因此假设独立，所有一个测试组中的刷子是好的．
因此，随机变量的期望值是,
因此，平均测试成本为，
运用大数最小化法则结果
现在回答问题。
石油泄漏发生在距城镇上游12公里的一家工厂。泄漏发生一小时后，它到达了小溪，一片1600米长的石油开始以每小时2公里的速度流向小镇。水中油的最大浓度为可接受水平的15倍。镇上预计的最大浓度是多少？何时到达？
确定已知信息和假设。
这是一个扩散问题，因此将使用带有相对浓度项的扩散方程。
相对浓度表示为
此函数已规范化，结果如下。
质量守恒定律在解决这个问题时也很有用。
目标是计算城镇的最大污染水平。
扩散方程是，
使用傅里叶变换求解扩散方程如下。
为了这个特殊的功能
所以间隔时间是
计算鉴于
现在找出最大值出现的时间点。
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分一组
刷子。如果一个批次失败，则该批次中的所有刷子必须单独测试。找出检测有缺陷电刷的成本影响最大的质量控制程序。
那么电刷被损坏的概率是
．然后是期望值的平均值
详情如下:
电刷和一个电刷出现缺陷的概率为
因此假设独立，所有
一个测试组中的刷子是好的
．
是,
结果
鉴于
