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ISEE上层定量:金字塔

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例子问题

例子问题1:金字塔

金字塔1有一个正方形的底面和边长；它的高度是．

金字塔2有一个正方形的底面和边长；它的高度是．

哪个量更大?

(a)金字塔1的体积

(b)金字塔2的体积

可能的答案:

从所给的信息是不可能知道的。

(b)较大。

(a)更大。

(a)和(b)相等。

正确答案:

(b)较大。

解释：

使用公式 $V = \frac {1}{3} Bh$ 在每个金字塔上。

(一) $B = x^{2}; h = 2x$

$V = \frac {1}{3} Bh = \frac {1}{3} \cdot x^{2} \cdot 2x = \frac {2}{3} x^{3}$

(b) $B = (2 x)^{2} = 4x^{2}; h = x$

$V = \frac {1}{3} Bh = \frac {1}{3} \cdot 4x^{2} \cdot x = \frac {4}{3} x^{3}$

不管， (b)为较大的量。

例子问题2:金字塔

哪个量更大?

(a)高为4，底边长为1的金字塔的体积

(b)高度为1，底边长为2的金字塔的体积

可能的答案:

(a)更大。

(b)较大。

(a)和(b)相等。

从所给的信息是不可能知道的。

正确答案:

(a)和(b)相等。

解释：

金字塔的体积还有一个有边长的方形底座是

$V = \frac{1}{3} Bh = \frac{1}{3} s^{2}h$ ．

(一)替代 s=1,h=4 ： $V = \frac{1}{3} s^{2}h = \frac{1}{3} \cdot 1^{2} \cdot 4 = \frac{4}{3}$

(b)替代 s=2,h=1 ： $V = \frac{1}{3} s^{2}h = \frac{1}{3} \cdot 2^{2} \cdot 1 = \frac{4}{3}$

这两座金字塔的体积相等。

例子问题3:金字塔

哪个量更大?

(a)底为边长为8英寸的正方形的金字塔的体积

(b)底为边长为1英尺的等边三角形的金字塔的体积

可能的答案:

从所给的信息是不可能知道的。

(a)和(b)相等。

(a)更大。

(b)较大。

正确答案:

从所给的信息是不可能知道的。

解释：

金字塔的体积是高度和底部面积乘积的三分之一。基地的面积可以计算出来，但没有关于金字塔高度的信息。没有足够的信息来确定哪个有更大的体积。

例子问题1:金字塔

底为方形的金字塔的高度等于底的周长。体积是．在这方面，它的底边每边的长度是多少?

可能的答案:

$\frac{\sqrt[3]{3V }}{8}$

$\sqrt[3]{\frac{3V}{2}}$

$\sqrt[3]{3V }$

$\sqrt[3]{\frac{3V}{4}}$

$\frac{\sqrt[3]{3V }}{2}$

正确答案:

$\sqrt[3]{\frac{3V}{4}}$

解释：

金字塔的体积由公式给出

$V = \frac{1}{3} A h$

在哪里它的底面积和就是它的高度。

让为方形底座一侧的长度。那么高度等于这个正方形的周长，所以

h = 4s

底的面积是

$A = s^{2}$

所以体积公式就变成了

$\frac{1}{3} \cdot s^{2} \cdot 4s = V$

解出：

$\frac{4}{3} \cdot s^{3} = V$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot s^{3} =\frac{3}{4} \cdot V$

$s^{3} =\frac{3V}{4}$

$s =\sqrt[3]{\frac{3V}{4}}$

例5:金字塔

底为方形的金字塔的高度等于底的周长。哪个量更大?

(A)基地面积的两倍

(B)一个三角形面的面积

可能的答案:

从所给的信息中不可能确定哪个更大

A和B相等

(A)更大

(B)更大

正确答案:

(B)更大

解释：

由于答案与实际尺寸无关，为了简单起见，我们假设底边长为2。底的面积是这个的平方，也就是4。

金字塔的高度等于底部的周长，或 $4 \times 2 = 8$ ．一个直角三角形可以形成，它的腿的长度等于金字塔的高度，或8，和一个边的长度的一半，或1;斜边的长度，也就是斜边的高度，是

$\sqrt{8^{2} + 1 ^{2}} = \sqrt{64+ 1 } = \sqrt{65}$

这是一个三角形面的高度;它的底是正方形的一条边，所以底的长度是2。一个脸的面积是这些尺寸的乘积的一半，或者

$\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{65} = \sqrt{65}$

因为底面积的两倍是 $8 = \sqrt{64}$ ，问题归结为比较 $\sqrt{64}$ 而且 $\sqrt{65}$ ；后者，即(B)，更大。

例子问题6:金字塔

方形底座和圆锥体的金字塔具有相同的高度和相同的体积。哪个量更大?

(A)金字塔底部的周长

(B)圆锥体底部的周长

可能的答案:

A和B相等

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(B)更大

(A)更大

正确答案:

(A)更大

解释：

锥体:金字塔或锥体高度的体积面积的基数是

$V = \frac{1}{3} Bh$ ，

所以在这两种情况下，底的面积是

$\frac{1}{3} Bh = V$

$\frac{3}{h} \cdot \frac{1}{3} Bh =\frac{3}{h} \cdot V$

$B = \frac{3V}{h}$

由于金字塔和锥体具有相同的体积和高度，它们的底座具有相同的面积．

金字塔底边的一条边的长度是这个的平方根，或者 $\sqrt{B}$ 周长是这个的四倍，或者 $P = 4 \sqrt{B}$ ．

圆锥体的半径和圆锥体底部的面积关系式如下:

$\pi r ^{2} = B$

$\sqrt{\pi r ^{2} }= \sqrt{B}$

$\sqrt{\pi } \cdot r = \sqrt{B}$

两边同时乘以 $2 \sqrt{\pi}$ 得到:

$2 \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi } \cdot r =2 \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{B}$

$2\pi r =2 \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{B}$

$C =2 \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{B}$

$2 \sqrt{\pi} < 2 \sqrt{4} = 2 \times 2 = 4$ ,所以

$2 \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{B} < 4 \sqrt{B}$ ,

C < P

金字塔底部的周长，也就是(A)，大于锥体底部的周长。

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